Pré-algèbre Exemples

$x^{2} - 6 x - 6 < 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - 6 x - 6 = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 6$ et $c = - 6$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Additionnez $36$ et $24$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $60$ comme $2^{2} \cdot 15$ .

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Étape 4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $60$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{15}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Additionnez $36$ et $24$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4

Réécrivez $60$ comme $2^{2} \cdot 15$ .

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Étape 5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $60$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{15}$

Étape 5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 3 + \sqrt{15}$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.3

Additionnez $36$ et $24$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $60$ comme $2^{2} \cdot 15$ .

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Étape 6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $60$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{15}$

Étape 6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 3 - \sqrt{15}$

Étape 7

Consolidez les solutions.

$x = 3 + \sqrt{15}, 3 - \sqrt{15}$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 3 - \sqrt{15}$

$3 - \sqrt{15} < x < 3 + \sqrt{15}$

$x > 3 + \sqrt{15}$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 3 - \sqrt{15}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 3 - \sqrt{15}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3 - 6 < 0$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $21$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $3 - \sqrt{15} < x < 3 + \sqrt{15}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $3 - \sqrt{15} < x < 3 + \sqrt{15}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} - 6 \cdot 0 - 6 < 0$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $- 6$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3 + \sqrt{15}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3 + \sqrt{15}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 9$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $9$ dans l’inégalité d’origine.

${(9)}^{2} - 6 \cdot 9 - 6 < 0$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $21$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 3 - \sqrt{15}$ Faux

$3 - \sqrt{15} < x < 3 + \sqrt{15}$ Vrai

$x > 3 + \sqrt{15}$ Faux

$x < 3 - \sqrt{15}$ Faux

$3 - \sqrt{15} < x < 3 + \sqrt{15}$ Vrai

$x > 3 + \sqrt{15}$ Faux

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$3 - \sqrt{15} < x < 3 + \sqrt{15}$

Étape 11