Pré-algèbre Exemples

$x^{3} + 8 x^{2} < - 5 x + 14$

Étape 1

Ajoutez $5 x$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x^{3} + 8 x^{2} + 5 x < 14$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{3} + 8 x^{2} + 5 x = 14$

Étape 3

Soustrayez $14$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14 = 0$

Étape 4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1

Factorisez $x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 4.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 14, \pm 2, \pm 7$

$q = \pm 1$

Étape 4.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 14, \pm 2, \pm 7$

Étape 4.1.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$1^{3} + 8 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 14$

Étape 4.1.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$1 + 8 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 14$

Étape 4.1.3.3

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$1 + 8 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 14$

Étape 4.1.3.4

Multipliez $8$ par $1$ .

$1 + 8 + 5 \cdot 1 - 14$

Étape 4.1.3.5

Additionnez $1$ et $8$ .

$9 + 5 \cdot 1 - 14$

Étape 4.1.3.6

Multipliez $5$ par $1$ .

$9 + 5 - 14$

Étape 4.1.3.7

Additionnez $9$ et $5$ .

$14 - 14$

Étape 4.1.3.8

Soustrayez $14$ de $14$ .

$0$

Étape 4.1.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14}{x - 1}$

Étape 4.1.5

Divisez $x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$ par $x - 1$ .

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Étape 4.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$5 x$

$14$

Étape 4.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$

Étape 4.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 4.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 4.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$

Étape 4.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$

Étape 4.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $9 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$

Étape 4.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$

Étape 4.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $9 x^{2} - 9 x$

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$

Étape 4.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$

Étape 4.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$	-	$14$

Étape 4.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $14 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$14$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$	-	$14$

Étape 4.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$14$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$	-	$14$
							+	$14 x$	-	$14$

Étape 4.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $14 x - 14$

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$14$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$	-	$14$
							-	$14 x$	+	$14$

Étape 4.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$14$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$	-	$14$
							-	$14 x$	+	$14$
										$0$

Étape 4.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + 9 x + 14$

Étape 4.1.6

Écrivez $x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 1) (x^{2} + 9 x + 14) = 0$

Étape 4.2

Factorisez $x^{2} + 9 x + 14$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.2.1

Factorisez $x^{2} + 9 x + 14$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $14$ et dont la somme est $9$ .

$2, 7$

Étape 4.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 1) ((x + 2) (x + 7)) = 0$

Étape 4.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 1) (x + 2) (x + 7) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 7 = 0$

Étape 6

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 7

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 8

Définissez $x + 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x + 7$ égal à $0$ .

$x + 7 = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 7$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (x + 2) (x + 7) = 0$ vraie.

$x = 1, - 2, - 7$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$x > 1$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 10$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 10$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 10)}^{3} + 8 {(- 10)}^{2} < - 5 \cdot - 10 + 14$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $- 200$ est inférieur au côté droit $64$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 7 < x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 7 < x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 4)}^{3} + 8 {(- 4)}^{2} < - 5 \cdot - 4 + 14$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $64$ n’est pas inférieur au côté droit $34$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{3} + 8 {(0)}^{2} < - 5 \cdot 0 + 14$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $14$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 11.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

${(4)}^{3} + 8 {(4)}^{2} < - 5 \cdot 4 + 14$

Étape 11.4.3

Le côté gauche $192$ n’est pas inférieur au côté droit $- 6$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 7$ Vrai

$- 7 < x < - 2$ Faux

$- 2 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

$x < - 7$ Vrai

$- 7 < x < - 2$ Faux

$- 2 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 7$ ou $- 2 < x < 1$

Étape 13