Pré-algèbre Exemples

$\frac{x - 13}{x - 20} > 3$

Étape 1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{x - 13}{x - 20} - 3 > 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x - 13}{x - 20} - 3$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 20}{x - 20}$ .

$\frac{x - 13}{x - 20} - 3 \cdot \frac{x - 20}{x - 20} > 0$

Étape 2.2

Associez $- 3$ et $\frac{x - 20}{x - 20}$ .

$\frac{x - 13}{x - 20} + \frac{- 3 (x - 20)}{x - 20} > 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - 13 - 3 (x - 20)}{x - 20} > 0$

Étape 2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 13 - 3 x - 3 \cdot - 20}{x - 20} > 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $- 3$ par $- 20$ .

$\frac{x - 13 - 3 x + 60}{x - 20} > 0$

Étape 2.4.3

Soustrayez $3 x$ de $x$ .

$\frac{- 2 x - 13 + 60}{x - 20} > 0$

Étape 2.4.4

Additionnez $- 13$ et $60$ .

$\frac{- 2 x + 47}{x - 20} > 0$

Étape 2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) + 47}{x - 20} > 0$

Étape 2.6

Réécrivez $47$ comme $- 1 (- 47)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (- 47)}{x - 20} > 0$

Étape 2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (- 47)$ .

$\frac{- (2 x - 47)}{x - 20} > 0$

Étape 2.8

Réécrivez $- (2 x - 47)$ comme $- 1 (2 x - 47)$ .

$\frac{- 1 (2 x - 47)}{x - 20} > 0$

Étape 2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 x - 47}{x - 20} > 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$2 x - 47 = 0$

$x - 20 = 0$

Étape 4

Ajoutez $47$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 47$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $2 x = 47$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 47$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{47}{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{47}{2}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{47}{2}$

Étape 6

Ajoutez $20$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 20$

Étape 7

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = \frac{47}{2}$

$x = 20$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$x = \frac{47}{2}, 20$

Étape 9

Déterminez le domaine de $- \frac{2 x - 47}{x - 20}$ .

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Étape 9.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x - 47}{x - 20}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 20 = 0$

Étape 9.2

Ajoutez $20$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 20$

Étape 9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 20) \cup (20, \infty)$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 20$

$20 < x < \frac{47}{2}$

$x > \frac{47}{2}$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 20$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 20$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(0) - 13}{(0) - 20} > 3$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $0.65$ n’est pas supérieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $20 < x < \frac{47}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $20 < x < \frac{47}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 22$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $22$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(22) - 13}{(22) - 20} > 3$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $4.5$ est supérieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{47}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{47}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 26$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $26$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(26) - 13}{(26) - 20} > 3$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $2.1\overline{6}$ n’est pas supérieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 20$ Faux

$20 < x < \frac{47}{2}$ Vrai

$x > \frac{47}{2}$ Faux

$x < 20$ Faux

$20 < x < \frac{47}{2}$ Vrai

$x > \frac{47}{2}$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$20 < x < \frac{47}{2}$

Étape 13