Pré-algèbre Exemples

$y^{2} + 4 x^{2} > 4$

Étape 1

Soustrayez $4 x^{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$y^{2} > 4 - 4 x^{2}$

Étape 2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{y^{2}} > \sqrt{4 - 4 x^{2}}$

Étape 3

Simplifiez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| y | > \sqrt{4 - 4 x^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez $\sqrt{4 - 4 x^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 - 4 x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$| y | > \sqrt{4 (1) - 4 x^{2}}$

Étape 3.2.1.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$| y | > \sqrt{4 (1) + 4 (- x^{2})}$

Étape 3.2.1.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (1) + 4 (- x^{2})$ .

$| y | > \sqrt{4 (1 - x^{2})}$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$| y | > \sqrt{4 (1^{2} - x^{2})}$

Étape 3.2.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$| y | > \sqrt{4 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.2.1.4

Réécrivez $4 (1 + x) (1 - x)$ comme $2^{2} ((1^{2} + x) (1 - x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| y | > \sqrt{2^{2} (1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.2.1.4.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$| y | > \sqrt{2^{2} (1^{2} + x) (1 - x)}$

Étape 3.2.1.4.3

Ajoutez des parenthèses.

$| y | > \sqrt{2^{2} ((1^{2} + x) (1 - x))}$

Étape 3.2.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| y | > | 2 | \sqrt{(1^{2} + x) (1 - x)}$

Étape 3.2.1.6

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$| y | > 2 \sqrt{(1^{2} + x) (1 - x)}$

Étape 3.2.1.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| y | > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 4

Écrivez $| y | > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ comme fonction définie par morceaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$y \geq 0$

Étape 4.2

Dans la partie où $y$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.3

Déterminez le domaine de $y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ et déterminez l’intersection avec $y \geq 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Déterminez le domaine de $y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(1 + x) (1 - x) \geq 0$

Étape 4.3.1.2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.1

Simplifiez $(1 + x) (1 - x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.1.1

Développez $(1 + x) (1 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 (1 - x) + x (1 - x) \geq 0$

Étape 4.3.1.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) \geq 0$

Étape 4.3.1.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

Étape 4.3.1.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.1.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

Étape 4.3.1.2.1.2.1.2

Multipliez $- x$ par $1$ .

$1 - x + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

Étape 4.3.1.2.1.2.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$1 - x + x + x (- x) \geq 0$

Étape 4.3.1.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 - x + x - x \cdot x \geq 0$

Étape 4.3.1.2.1.2.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.1.2.1.5.1

Déplacez $x$ .

$1 - x + x - (x \cdot x) \geq 0$

Étape 4.3.1.2.1.2.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$1 - x + x - x^{2} \geq 0$

Étape 4.3.1.2.1.2.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$1 + 0 - x^{2} \geq 0$

Étape 4.3.1.2.1.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 - x^{2} \geq 0$

Étape 4.3.1.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} \geq - 1$

Étape 4.3.1.2.3

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.3.1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.3.1.2.3.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.3.1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.3.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} \leq 1$

Étape 4.3.1.2.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{1}$

Étape 4.3.1.2.5

Simplifiez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.5.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.5.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq \sqrt{1}$

Étape 4.3.1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.5.2.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$| x | \leq 1$

Étape 4.3.1.2.6

Écrivez $| x | \leq 1$ comme fonction définie par morceaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.6.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 4.3.1.2.6.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \leq 1$

Étape 4.3.1.2.6.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 4.3.1.2.6.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \leq 1$

Étape 4.3.1.2.6.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \leq 1 & x \geq 0 \\ - x \leq 1 & x < 0 \end{cases}$

Étape 4.3.1.2.7

Déterminez l’intersection de $x \leq 1$ et $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 1$

Étape 4.3.1.2.8

Résolvez $- x \leq 1$ quand $x < 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.8.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.8.1.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{1}{- 1}$

Étape 4.3.1.2.8.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.8.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \geq \frac{1}{- 1}$

Étape 4.3.1.2.8.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{1}{- 1}$

Étape 4.3.1.2.8.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.8.1.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$x \geq - 1$

Étape 4.3.1.2.8.2

Déterminez l’intersection de $x \geq - 1$ et $x < 0$ .

$- 1 \leq x < 0$

Étape 4.3.1.2.9

Déterminez l’union des solutions.

$- 1 \leq x \leq 1$

Étape 4.3.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $y$ qui rendent l’expression définie.

$[- 1, 1]$

Étape 4.3.2

Déterminez l’intersection de $y \geq 0$ et $[- 1, 1]$ .

$0 \leq y \leq 1$

Étape 4.4

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$y < 0$

Étape 4.5

Dans la partie où $y$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.6

Déterminez le domaine de $- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ et déterminez l’intersection avec $y < 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1

Déterminez le domaine de $- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(1 + x) (1 - x) \geq 0$

Étape 4.6.1.2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.2.1

Simplifiez $(1 + x) (1 - x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.2.1.1

Développez $(1 + x) (1 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 (1 - x) + x (1 - x) \geq 0$

Étape 4.6.1.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) \geq 0$

Étape 4.6.1.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

Étape 4.6.1.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.2.1.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

Étape 4.6.1.2.1.2.1.2

Multipliez $- x$ par $1$ .

$1 - x + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

Étape 4.6.1.2.1.2.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$1 - x + x + x (- x) \geq 0$

Étape 4.6.1.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 - x + x - x \cdot x \geq 0$

Étape 4.6.1.2.1.2.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.2.1.2.1.5.1

Déplacez $x$ .

$1 - x + x - (x \cdot x) \geq 0$

Étape 4.6.1.2.1.2.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$1 - x + x - x^{2} \geq 0$

Étape 4.6.1.2.1.2.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$1 + 0 - x^{2} \geq 0$

Étape 4.6.1.2.1.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 - x^{2} \geq 0$

Étape 4.6.1.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} \geq - 1$

Étape 4.6.1.2.3

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.6.1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.6.1.2.3.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.6.1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.2.3.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} \leq 1$

Étape 4.6.1.2.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{1}$

Étape 4.6.1.2.5

Simplifiez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.2.5.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.2.5.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq \sqrt{1}$

Étape 4.6.1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.2.5.2.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$| x | \leq 1$

Étape 4.6.1.2.6

Écrivez $| x | \leq 1$ comme fonction définie par morceaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.2.6.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 4.6.1.2.6.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \leq 1$

Étape 4.6.1.2.6.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 4.6.1.2.6.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \leq 1$

Étape 4.6.1.2.6.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \leq 1 & x \geq 0 \\ - x \leq 1 & x < 0 \end{cases}$

Étape 4.6.1.2.7

Déterminez l’intersection de $x \leq 1$ et $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 1$

Étape 4.6.1.2.8

Résolvez $- x \leq 1$ quand $x < 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.2.8.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.2.8.1.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{1}{- 1}$

Étape 4.6.1.2.8.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.2.8.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \geq \frac{1}{- 1}$

Étape 4.6.1.2.8.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{1}{- 1}$

Étape 4.6.1.2.8.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.2.8.1.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$x \geq - 1$

Étape 4.6.1.2.8.2

Déterminez l’intersection de $x \geq - 1$ et $x < 0$ .

$- 1 \leq x < 0$

Étape 4.6.1.2.9

Déterminez l’union des solutions.

$- 1 \leq x \leq 1$

Étape 4.6.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $y$ qui rendent l’expression définie.

$[- 1, 1]$

Étape 4.6.2

Déterminez l’intersection de $y < 0$ et $[- 1, 1]$ .

$- 1 \leq y < 0$

Étape 4.7

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} & 0 \leq y \leq 1 \\ - y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} & - 1 \leq y < 0 \end{cases}$

Étape 5

Déterminez l’intersection de $y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ et $0 \leq y \leq 1$ .

Aucune solution

Étape 6

Résolvez $- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ quand $- 1 \leq y < 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Divisez chaque terme dans $- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- y}{- 1} < \frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{- 1}$

Étape 6.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} < \frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{- 1}$

Étape 6.1.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y < \frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{- 1}$

Étape 6.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{- 1}$ .

$y < - 1 \cdot (2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$

Étape 6.1.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot (2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$ comme $- (2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$ .

$y < - (2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$

Étape 6.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y < - 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 6.2

Déterminez l’intersection de $y < - 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ et $- 1 \leq y < 0$ .

$- 1 \leq y < N o (Min i m u m)$

Étape 7

Déterminez l’union des solutions.

$- 1 \leq y < i N o Min m^{2} u$

Étape 8