Pré-algèbre Exemples

$y^{2} - x^{2} - 6 y - 10 x - 25 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

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Étape 1.1

Ajoutez $25$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{2} - x^{2} - 6 y - 10 x = 25$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $y^{2} - 6 y$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 3}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.4

Divisez $- 3$ par $1$ .

$d = - 3$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $36$ par $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$e = 0 - 9$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $9$ de $0$ .

$e = - 9$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y - 3)}^{2} - 9$ .

${(y - 3)}^{2} - 9$

Étape 1.3

Remplacez $y^{2} - 6 y$ par ${(y - 3)}^{2} - 9$ dans l’équation $y^{2} - x^{2} - 6 y - 10 x = 25$ .

${(y - 3)}^{2} - 9 - x^{2} - 10 x = 25$

Étape 1.4

Déplacez $- 9$ du côté droit de l’équation en ajoutant $9$ des deux côtés.

${(y - 3)}^{2} - x^{2} - 10 x = 25 + 9$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $- x^{2} - 10 x$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = - 10$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 10}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 5$

Étape 1.5.3.2.2

Réécrivez $- 1 \cdot - 5$ comme $- - 5$ .

$d = - - 5$

Étape 1.5.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$d = 5$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = 0 - \frac{100}{- 4}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $100$ par $- 4$ .

$e = 0 - - 25$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 25$ .

$e = 0 + 25$

Étape 1.5.4.2.2

Additionnez $0$ et $25$ .

$e = 25$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(x + 5)}^{2} + 25$ .

$- {(x + 5)}^{2} + 25$

Étape 1.6

Remplacez $- x^{2} - 10 x$ par $- {(x + 5)}^{2} + 25$ dans l’équation $y^{2} - x^{2} - 6 y - 10 x = 25$ .

${(y - 3)}^{2} - {(x + 5)}^{2} + 25 = 25 + 9$

Étape 1.7

Déplacez $25$ du côté droit de l’équation en ajoutant $25$ des deux côtés.

${(y - 3)}^{2} - {(x + 5)}^{2} = 25 + 9 - 25$

Étape 1.8

Simplifiez $25 + 9 - 25$ .

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Étape 1.8.1

Additionnez $25$ et $9$ .

${(y - 3)}^{2} - {(x + 5)}^{2} = 34 - 25$

Étape 1.8.2

Soustrayez $25$ de $34$ .

${(y - 3)}^{2} - {(x + 5)}^{2} = 9$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $9$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{9} - \frac{{(x + 5)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{9} - \frac{{(x + 5)}^{2}}{9} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 3$

$b = 3$

$k = 3$

$h = - 5$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(- 5, 3)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{9 + {(3)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{9 + 9}$

Étape 5.3.3

Additionnez $9$ et $9$ .

$\sqrt{18}$

Étape 5.3.4

Réécrivez $18$ comme $3^{2} \cdot 2$ .

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Étape 5.3.4.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$\sqrt{9 (2)}$

Étape 5.3.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Étape 5.3.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$3 \sqrt{2}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 5, 6)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 5, 0)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm a)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(- 5, 6), (- 5, 0)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 5, 3 + 3 \sqrt{2})$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 5, 3 - 3 \sqrt{2})$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(- 5, 3 + 3 \sqrt{2}), (- 5, 3 - 3 \sqrt{2})$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(3)}^{2}}}{3}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 3^{2}}}{3}$

Étape 8.3.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 9}}{3}$

Étape 8.3.1.3

Additionnez $9$ et $9$ .

$\frac{\sqrt{18}}{3}$

Étape 8.3.1.4

Réécrivez $18$ comme $3^{2} \cdot 2$ .

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Étape 8.3.1.4.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$\frac{\sqrt{9 (2)}}{3}$

Étape 8.3.1.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2}}{3}$

Étape 8.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3 \sqrt{2}}{3}$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \sqrt{2}}{3}$

Étape 8.3.2.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\sqrt{2}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{3^{2}}{3 \sqrt{2}}$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Annulez le facteur commun à $3^{2}$ et $3$ .

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Étape 9.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 \sqrt{2}}$

Étape 9.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 (\sqrt{2})}$

Étape 9.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \sqrt{2}}$

Étape 9.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{\sqrt{2}}$

Étape 9.3.2

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 9.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.3.1

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 9.3.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 9.3.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 9.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 9.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 9.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 9.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ car cette hyperbole ouvre vers le haut et vers le bas.

$y = \pm 1 \cdot (x - (- 5)) + 3$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 1 \cdot (x - (- 5)) + 3$

Étape 11.2

Simplifiez $1 \cdot (x - (- 5)) + 3$ .

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $x - (- 5)$ par $1$ .

$y = x - (- 5) + 3$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$y = x + 5 + 3$

Étape 11.2.2

Additionnez $5$ et $3$ .

$y = x + 8$

Étape 12

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

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Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - 1 \cdot (x - (- 5)) + 3$

Étape 12.2

Simplifiez $- 1 \cdot (x - (- 5)) + 3$ .

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$y = - 1 \cdot (x + 5) + 3$

Étape 12.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 1 x - 1 \cdot 5 + 3$

Étape 12.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = - x - 1 \cdot 5 + 3$

Étape 12.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$y = - x - 5 + 3$

Étape 12.2.2

Additionnez $- 5$ et $3$ .

$y = - x - 2$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = x + 8, y = - x - 2$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(- 5, 3)$

Sommets : $(- 5, 6), (- 5, 0)$

Foyers : $(- 5, 3 + 3 \sqrt{2}), (- 5, 3 - 3 \sqrt{2})$

Excentricité : $\sqrt{2}$

Paramètre focal : $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Asymptotes : $y = x + 8$ , $y = - x - 2$

Étape 15