Pré-algèbre Exemples

$\frac{y}{25} - \frac{x^{2}}{49} = 1$

Étape 1

Résolvez $y$ .

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Étape 1.1

Ajoutez $\frac{x^{2}}{49}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{25} = 1 + \frac{x^{2}}{49}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $25$ .

$25 \frac{y}{25} = 25 (1 + \frac{x^{2}}{49})$

Étape 1.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 1.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.1.1

Annulez le facteur commun de $25$ .

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Étape 1.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$25 \frac{y}{25} = 25 (1 + \frac{x^{2}}{49})$

Étape 1.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 25 (1 + \frac{x^{2}}{49})$

Étape 1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.2.1

Simplifiez $25 (1 + \frac{x^{2}}{49})$ .

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Étape 1.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 25 \cdot 1 + 25 \frac{x^{2}}{49}$

Étape 1.3.2.1.2

Multipliez $25$ par $1$ .

$y = 25 + 25 \frac{x^{2}}{49}$

Étape 1.3.2.1.3

Associez $25$ et $\frac{x^{2}}{49}$ .

$y = 25 + \frac{25 x^{2}}{49}$

Étape 1.4

Remettez dans l’ordre $25$ et $\frac{25 x^{2}}{49}$ .

$y = \frac{25 x^{2}}{49} + 25$

Étape 2

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 2.1.1

Complétez le carré pour $\frac{25 x^{2}}{49} + 25$ .

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Étape 2.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{25}{49}$

$b = 0$

$c = 25$

Étape 2.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (\frac{25}{49})}$

Étape 2.1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 2.1.1.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{25}{49})}$

Étape 2.1.1.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{25}{49})}$

Étape 2.1.1.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{0}{\frac{25}{49}}$

Étape 2.1.1.3.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = 0 (\frac{49}{25})$

Étape 2.1.1.3.2.3

Multipliez $0$ par $\frac{49}{25}$ .

$d = 0$

Étape 2.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 25 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{25}{49})}$

Étape 2.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$e = 25 - \frac{0}{4 (\frac{25}{49})}$

Étape 2.1.1.4.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{25}{49}$ .

$e = 25 - \frac{0}{\frac{4 \cdot 25}{49}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.3

Multipliez $4$ par $25$ .

$e = 25 - \frac{0}{\frac{100}{49}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = 25 - (0 (\frac{49}{100}))$

Étape 2.1.1.4.2.1.5

Multipliez $0$ par $\frac{49}{100}$ .

$e = 25 - 0$

Étape 2.1.1.4.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e = 25 + 0$

Étape 2.1.1.4.2.2

Additionnez $25$ et $0$ .

$e = 25$

Étape 2.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{25}{49} {(x + 0)}^{2} + 25$ .

$\frac{25}{49} {(x + 0)}^{2} + 25$

Étape 2.1.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = \frac{25}{49} \cdot {(x + 0)}^{2} + 25$

Étape 2.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{25}{49}$

$h = 0$

$k = 25$

Étape 2.3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 2.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(0, 25)$

Étape 2.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 2.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 2.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{25}{49}}$

Étape 2.5.3

Simplifiez

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Étape 2.5.3.1

Associez $4$ et $\frac{25}{49}$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 25}{49}}$

Étape 2.5.3.2

Multipliez $4$ par $25$ .

$\frac{1}{\frac{100}{49}}$

Étape 2.5.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 (\frac{49}{100})$

Étape 2.5.3.4

Multipliez $\frac{49}{100}$ par $1$ .

$\frac{49}{100}$

Étape 2.6

Déterminez le foyer.

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Étape 2.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 2.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(0, \frac{2549}{100})$

Étape 2.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = 0$

Étape 2.8

Déterminez la directrice.

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Étape 2.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 2.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = \frac{2451}{100}$

Étape 2.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(0, 25)$

Foyer : $(0, \frac{2549}{100})$

Axe de symétrie : $x = 0$

Directrice : $y = \frac{2451}{100}$

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(0, 25)$

Foyer : $(0, \frac{2549}{100})$

Axe de symétrie : $x = 0$

Directrice : $y = \frac{2451}{100}$

Étape 3

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = \frac{25 {(- 1)}^{2}}{49} + 25$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = \frac{25 \cdot 1}{49} + 25$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $25$ par $1$ .

$f (- 1) = \frac{25}{49} + 25$

Étape 3.2.2

Pour écrire $25$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{49}{49}$ .

$f (- 1) = \frac{25}{49} + 25 \cdot \frac{49}{49}$

Étape 3.2.3

Associez $25$ et $\frac{49}{49}$ .

$f (- 1) = \frac{25}{49} + \frac{25 \cdot 49}{49}$

Étape 3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 1) = \frac{25 + 25 \cdot 49}{49}$

Étape 3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $25$ par $49$ .

$f (- 1) = \frac{25 + 1225}{49}$

Étape 3.2.5.2

Additionnez $25$ et $1225$ .

$f (- 1) = \frac{1250}{49}$

Étape 3.2.6

La réponse finale est $\frac{1250}{49}$ .

$\frac{1250}{49}$

Étape 3.3

La valeur $y$ sur $x = - 1$ est $\frac{1250}{49}$ .

$y = \frac{1250}{49}$

Étape 3.4

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = \frac{25 {(- 2)}^{2}}{49} + 25$

Étape 3.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = \frac{25 \cdot 4}{49} + 25$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $25$ par $4$ .

$f (- 2) = \frac{100}{49} + 25$

Étape 3.5.2

Pour écrire $25$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{49}{49}$ .

$f (- 2) = \frac{100}{49} + 25 \cdot \frac{49}{49}$

Étape 3.5.3

Associez $25$ et $\frac{49}{49}$ .

$f (- 2) = \frac{100}{49} + \frac{25 \cdot 49}{49}$

Étape 3.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 2) = \frac{100 + 25 \cdot 49}{49}$

Étape 3.5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.5.1

Multipliez $25$ par $49$ .

$f (- 2) = \frac{100 + 1225}{49}$

Étape 3.5.5.2

Additionnez $100$ et $1225$ .

$f (- 2) = \frac{1325}{49}$

Étape 3.5.6

La réponse finale est $\frac{1325}{49}$ .

$\frac{1325}{49}$

Étape 3.6

La valeur $y$ sur $x = - 2$ est $\frac{1325}{49}$ .

$y = \frac{1325}{49}$

Étape 3.7

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{25 {(1)}^{2}}{49} + 25$

Étape 3.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.8.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \frac{25 \cdot 1}{49} + 25$

Étape 3.8.1.2

Multipliez $25$ par $1$ .

$f (1) = \frac{25}{49} + 25$

Étape 3.8.2

Pour écrire $25$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{49}{49}$ .

$f (1) = \frac{25}{49} + 25 \cdot \frac{49}{49}$

Étape 3.8.3

Associez $25$ et $\frac{49}{49}$ .

$f (1) = \frac{25}{49} + \frac{25 \cdot 49}{49}$

Étape 3.8.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (1) = \frac{25 + 25 \cdot 49}{49}$

Étape 3.8.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.5.1

Multipliez $25$ par $49$ .

$f (1) = \frac{25 + 1225}{49}$

Étape 3.8.5.2

Additionnez $25$ et $1225$ .

$f (1) = \frac{1250}{49}$

Étape 3.8.6

La réponse finale est $\frac{1250}{49}$ .

$\frac{1250}{49}$

Étape 3.9

La valeur $y$ sur $x = 1$ est $\frac{1250}{49}$ .

$y = \frac{1250}{49}$

Étape 3.10

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \frac{25 {(2)}^{2}}{49} + 25$

Étape 3.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = \frac{25 \cdot 4}{49} + 25$

Étape 3.11.1.2

Multipliez $25$ par $4$ .

$f (2) = \frac{100}{49} + 25$

Étape 3.11.2

Pour écrire $25$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{49}{49}$ .

$f (2) = \frac{100}{49} + 25 \cdot \frac{49}{49}$

Étape 3.11.3

Associez $25$ et $\frac{49}{49}$ .

$f (2) = \frac{100}{49} + \frac{25 \cdot 49}{49}$

Étape 3.11.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (2) = \frac{100 + 25 \cdot 49}{49}$

Étape 3.11.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.11.5.1

Multipliez $25$ par $49$ .

$f (2) = \frac{100 + 1225}{49}$

Étape 3.11.5.2

Additionnez $100$ et $1225$ .

$f (2) = \frac{1325}{49}$

Étape 3.11.6

La réponse finale est $\frac{1325}{49}$ .

$\frac{1325}{49}$

Étape 3.12

La valeur $y$ sur $x = 2$ est $\frac{1325}{49}$ .

$y = \frac{1325}{49}$

Étape 3.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & \frac{1325}{49} \\ - 1 & \frac{1250}{49} \\ 0 & 25 \\ 1 & \frac{1250}{49} \\ 2 & \frac{1325}{49} \end{array}$

Étape 4

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(0, 25)$

Foyer : $(0, \frac{2549}{100})$

Axe de symétrie : $x = 0$

Directrice : $y = \frac{2451}{100}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & \frac{1325}{49} \\ - 1 & \frac{1250}{49} \\ 0 & 25 \\ 1 & \frac{1250}{49} \\ 2 & \frac{1325}{49} \end{array}$

Étape 5