Pré-algèbre Exemples

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x - 54 - 161 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

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Étape 1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas de variable du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.1

Ajoutez $54$ aux deux côtés de l’équation.

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x - 161 = 54$

Étape 1.1.2

Ajoutez $161$ aux deux côtés de l’équation.

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x = 54 + 161$

Étape 1.1.3

Additionnez $54$ et $161$ .

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x = 215$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $16 x^{2} + 64 x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 16$

$b = 64$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{64}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $64$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $64$ .

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 (16)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{32}{16}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $32$ et $16$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$d = \frac{16 \cdot 2}{16}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $16$ à partir de $16$ .

$d = \frac{16 \cdot 2}{16 (1)}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{2}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$d = 2$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{64^{2}}{4 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $64$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{4096}{4 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $16$ .

$e = 0 - \frac{4096}{64}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $4096$ par $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$e = 0 - 64$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $64$ de $0$ .

$e = - 64$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $16 {(x + 2)}^{2} - 64$ .

$16 {(x + 2)}^{2} - 64$

Étape 1.3

Remplacez $16 x^{2} + 64 x$ par $16 {(x + 2)}^{2} - 64$ dans l’équation $16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x = 215$ .

$16 {(x + 2)}^{2} - 64 - 9 y^{2} = 215$

Étape 1.4

Déplacez $- 64$ du côté droit de l’équation en ajoutant $64$ des deux côtés.

$16 {(x + 2)}^{2} - 9 y^{2} = 215 + 64$

Étape 1.5

Additionnez $215$ et $64$ .

$16 {(x + 2)}^{2} - 9 y^{2} = 279$

Étape 1.6

Divisez chaque terme par $279$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{16 {(x + 2)}^{2}}{279} - \frac{9 y^{2}}{279} = \frac{279}{279}$

Étape 1.7

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{\frac{279}{16}} - \frac{y^{2}}{31} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = \frac{3 \sqrt{31}}{4}$

$b = \sqrt{31}$

$k = 0$

$h = - 2$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(- 2, 0)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(\frac{3 \sqrt{31}}{4})}^{2} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 \sqrt{31}}{4}$ .

$\sqrt{\frac{{(3 \sqrt{31})}^{2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Appliquez la règle de produit à $3 \sqrt{31}$ .

$\sqrt{\frac{3^{2} {\sqrt{31}}^{2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{9 {\sqrt{31}}^{2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Réécrivez ${\sqrt{31}}^{2}$ comme $31$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{31}$ comme $31^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{9 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{1}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez en annulant l’exposant avec un radical.

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Étape 5.3.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31}{16} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Étape 5.3.3.2

Multipliez $9$ par $31$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Étape 5.3.3.3

Réécrivez ${\sqrt{31}}^{2}$ comme $31$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{31}$ comme $31^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.3.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.3.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.3.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{1}}$

Étape 5.3.3.3.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31}$

Étape 5.3.4

Pour écrire $31$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31 \cdot \frac{16}{16}}$

Étape 5.3.5

Associez $31$ et $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + \frac{31 \cdot 16}{16}}$

Étape 5.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{279 + 31 \cdot 16}{16}}$

Étape 5.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.7.1

Multipliez $31$ par $16$ .

$\sqrt{\frac{279 + 496}{16}}$

Étape 5.3.7.2

Additionnez $279$ et $496$ .

$\sqrt{\frac{775}{16}}$

Étape 5.3.8

Réécrivez $\sqrt{\frac{775}{16}}$ comme $\frac{\sqrt{775}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{775}}{\sqrt{16}}$

Étape 5.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.9.1

Réécrivez $775$ comme $5^{2} \cdot 31$ .

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Étape 5.3.9.1.1

Factorisez $25$ à partir de $775$ .

$\frac{\sqrt{25 (31)}}{\sqrt{16}}$

Étape 5.3.9.1.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 31}}{\sqrt{16}}$

Étape 5.3.9.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{5 \sqrt{31}}{\sqrt{16}}$

Étape 5.3.10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.10.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{31}}{\sqrt{4^{2}}}$

Étape 5.3.10.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{5 \sqrt{31}}{4}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 2 + \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 2 - \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm a, k)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(- 2 + \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0), (- 2 - \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 2 + \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 2 - \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(- 2 + \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0), (- 2 - \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(\frac{3 \sqrt{31}}{4})}^{2} + {(\sqrt{31})}^{2}}}{\frac{3 \sqrt{31}}{4}}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{{(\frac{3 \sqrt{31}}{4})}^{2} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Étape 8.3.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 8.3.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 \sqrt{31}}{4}$ .

$\sqrt{\frac{{(3 \sqrt{31})}^{2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Étape 8.3.2.2

Appliquez la règle de produit à $3 \sqrt{31}$ .

$\sqrt{\frac{3^{2} {\sqrt{31}}^{2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Étape 8.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{9 {\sqrt{31}}^{2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Étape 8.3.3.2

Réécrivez ${\sqrt{31}}^{2}$ comme $31$ .

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Étape 8.3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{31}$ comme $31^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{9 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Étape 8.3.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Étape 8.3.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Étape 8.3.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Étape 8.3.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{1}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Étape 8.3.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Étape 8.3.4

Simplifiez en annulant l’exposant avec un radical.

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Étape 8.3.4.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31}{16} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Étape 8.3.4.2

Multipliez $9$ par $31$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Étape 8.3.4.3

Réécrivez ${\sqrt{31}}^{2}$ comme $31$ .

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Étape 8.3.4.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{31}$ comme $31^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Étape 8.3.4.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Étape 8.3.4.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{2}{2}}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Étape 8.3.4.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{2}{2}}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Étape 8.3.4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{1}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Étape 8.3.4.3.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Étape 8.3.5

Pour écrire $31$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31 \cdot \frac{16}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Étape 8.3.6

Associez $31$ et $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + \frac{31 \cdot 16}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Étape 8.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{279 + 31 \cdot 16}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Étape 8.3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.8.1

Multipliez $31$ par $16$ .

$\sqrt{\frac{279 + 496}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Étape 8.3.8.2

Additionnez $279$ et $496$ .

$\sqrt{\frac{775}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Étape 8.3.9

Réécrivez $\sqrt{\frac{775}{16}}$ comme $\frac{\sqrt{775}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{775}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Étape 8.3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.10.1

Réécrivez $775$ comme $5^{2} \cdot 31$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.10.1.1

Factorisez $25$ à partir de $775$ .

$\frac{\sqrt{25 (31)}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Étape 8.3.10.1.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 31}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Étape 8.3.10.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{5 \sqrt{31}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Étape 8.3.11

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.11.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{31}}{\sqrt{4^{2}}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Étape 8.3.11.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{5 \sqrt{31}}{4} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Étape 8.3.12

Simplifiez les termes.

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Étape 8.3.12.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{31}$ .

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Étape 8.3.12.1.1

Factorisez $\sqrt{31}$ à partir de $5 \sqrt{31}$ .

$\frac{\sqrt{31} \cdot 5}{4} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Étape 8.3.12.1.2

Factorisez $\sqrt{31}$ à partir de $3 \sqrt{31}$ .

$\frac{\sqrt{31} \cdot 5}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{31} \cdot 3}$

Étape 8.3.12.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{31} \cdot 5}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{31} \cdot 3}$

Étape 8.3.12.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{3}$

Étape 8.3.12.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 8.3.12.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{3}$

Étape 8.3.12.2.2

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{1}{3})$

Étape 8.3.12.3

Associez $5$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{3}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{\frac{{\sqrt{31}}^{2}}{5 \sqrt{31}}}{4}$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Annulez le facteur commun à ${\sqrt{31}}^{2}$ et $\sqrt{31}$ .

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Étape 9.3.1.1

Factorisez $\sqrt{31}$ à partir de ${\sqrt{31}}^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{31} \sqrt{31}}{5 \sqrt{31}}}{4}$

Étape 9.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.1.2.1

Factorisez $\sqrt{31}$ à partir de $5 \sqrt{31}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{31} \sqrt{31}}{\sqrt{31} \cdot 5}}{4}$

Étape 9.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{\sqrt{31} \sqrt{31}}{\sqrt{31} \cdot 5}}{4}$

Étape 9.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{\sqrt{31}}{5}}{4}$

Étape 9.3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sqrt{31}}{5} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 9.3.3

Multipliez $\frac{\sqrt{31}}{5} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 9.3.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{31}}{5}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\sqrt{31}}{5 \cdot 4}$

Étape 9.3.3.2

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{\sqrt{31}}{20}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ car cette hyperbole ouvre vers la gauche et vers la droite.

$y = \pm \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$

Étape 11.2

Simplifiez $\frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$ .

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Étape 11.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.1.1

Additionnez $\frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$ et $0$ .

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$y = \frac{4}{3} \cdot (x + 2)$

Étape 11.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot 2$

Étape 11.2.3

Associez $\frac{4}{3}$ et $x$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot 2$

Étape 11.2.4

Multipliez $\frac{4}{3} \cdot 2$ .

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Étape 11.2.4.1

Associez $\frac{4}{3}$ et $2$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4 \cdot 2}{3}$

Étape 11.2.4.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3}$

Étape 12

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

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Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$

Étape 12.2

Simplifiez $- \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$ .

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Étape 12.2.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.1

Additionnez $- \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$ et $0$ .

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$

Étape 12.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x + 2)$

Étape 12.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot 2$

Étape 12.2.3

Associez $x$ et $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot 2$

Étape 12.2.4

Multipliez $- \frac{4}{3} \cdot 2$ .

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Étape 12.2.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - 2 (\frac{4}{3})$

Étape 12.2.4.2

Associez $- 2$ et $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 2 \cdot 4}{3}$

Étape 12.2.4.3

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 8}{3}$

Étape 12.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.5.1

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{4 \cdot x}{3} + \frac{- 8}{3}$

Étape 12.2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3}$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3}, y = - \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3}$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(- 2, 0)$

Sommets : $(- 2 + \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0), (- 2 - \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Foyers : $(- 2 + \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0), (- 2 - \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Excentricité : $\frac{5}{3}$

Paramètre focal : $\frac{\sqrt{31}}{20}$

Asymptotes : $y = \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3}$ , $y = - \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3}$

Étape 15