Pré-algèbre Exemples

$- 16 x^{2} + 96 x - 144 + 4 y^{2} - 32 y = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Ajoutez $144$ aux deux côtés de l’équation.

$- 16 x^{2} + 96 x + 4 y^{2} - 32 y = 144$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $- 16 x^{2} + 96 x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 16$

$b = 96$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{96}{2 \cdot - 16}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $96$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $96$ .

$d = \frac{2 \cdot 48}{2 \cdot - 16}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 16$ .

$d = \frac{2 \cdot 48}{2 (- 16)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 48}{2 \cdot - 16}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{48}{- 16}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $48$ et $- 16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$d = \frac{16 (3)}{- 16}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Étape 1.2.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$d = - 3$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{96^{2}}{4 \cdot - 16}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $96$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{9216}{4 \cdot - 16}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 16$ .

$e = 0 - \frac{9216}{- 64}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $9216$ par $- 64$ .

$e = 0 - - 144$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 144$ .

$e = 0 + 144$

Étape 1.2.4.2.2

Additionnez $0$ et $144$ .

$e = 144$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 16 {(x - 3)}^{2} + 144$ .

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 144$

Étape 1.3

Remplacez $- 16 x^{2} + 96 x$ par $- 16 {(x - 3)}^{2} + 144$ dans l’équation $- 16 x^{2} + 96 x + 4 y^{2} - 32 y = 144$ .

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 144 + 4 y^{2} - 32 y = 144$

Étape 1.4

Déplacez $144$ du côté droit de l’équation en ajoutant $144$ des deux côtés.

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 4 y^{2} - 32 y = 144 - 144$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $4 y^{2} - 32 y$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 4$

$b = - 32$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 32}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 32$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 32$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (4)}$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 16}{4}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 16$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 16$ .

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)}$

Étape 1.5.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 4}{1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.4

Divisez $- 4$ par $1$ .

$d = - 4$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $- 32$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 4}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$e = 0 - \frac{1024}{16}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $1024$ par $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$e = 0 - 64$

Étape 1.5.4.2.2

Soustrayez $64$ de $0$ .

$e = - 64$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $4 {(y - 4)}^{2} - 64$ .

$4 {(y - 4)}^{2} - 64$

Étape 1.6

Remplacez $4 y^{2} - 32 y$ par $4 {(y - 4)}^{2} - 64$ dans l’équation $- 16 x^{2} + 96 x + 4 y^{2} - 32 y = 144$ .

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y - 4)}^{2} - 64 = 144 - 144$

Étape 1.7

Déplacez $- 64$ du côté droit de l’équation en ajoutant $64$ des deux côtés.

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y - 4)}^{2} = 144 - 144 + 64$

Étape 1.8

Simplifiez $144 - 144 + 64$ .

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Étape 1.8.1

Soustrayez $144$ de $144$ .

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y - 4)}^{2} = 0 + 64$

Étape 1.8.2

Additionnez $0$ et $64$ .

$- 16 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y - 4)}^{2} = 64$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $64$ pour rendre le côté droit égal à un.

$- \frac{16 {(x - 3)}^{2}}{64} + \frac{4 {(y - 4)}^{2}}{64} = \frac{64}{64}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{4} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 4$

$b = 2$

$k = 4$

$h = 3$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(3, 4)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(2)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{16 + {(2)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{16 + 4}$

Étape 5.3.3

Additionnez $16$ et $4$ .

$\sqrt{20}$

Étape 5.3.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 5.3.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\sqrt{4 (5)}$

Étape 5.3.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Étape 5.3.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 \sqrt{5}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(3, 8)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(3, 0)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm a)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(3, 8), (3, 0)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(3, 4 + 2 \sqrt{5})$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(3, 4 - 2 \sqrt{5})$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(3, 4 + 2 \sqrt{5}), (3, 4 - 2 \sqrt{5})$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(2)}^{2}}}{4}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 2^{2}}}{4}$

Étape 8.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 4}}{4}$

Étape 8.3.1.3

Additionnez $16$ et $4$ .

$\frac{\sqrt{20}}{4}$

Étape 8.3.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 8.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{4}$

Étape 8.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{4}$

Étape 8.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{5}}{4}$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 (\sqrt{5})}{4}$

Étape 8.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{2^{2}}{2 \sqrt{5}}$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Annulez le facteur commun à $2^{2}$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{5}}$

Étape 9.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (\sqrt{5})}$

Étape 9.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{5}}$

Étape 9.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{\sqrt{5}}$

Étape 9.3.2

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 9.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.3.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 9.3.3.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Étape 9.3.3.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Étape 9.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 9.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 9.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Étape 9.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ car cette hyperbole ouvre vers le haut et vers le bas.

$y = \pm 2 \cdot (x - (3)) + 4$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 \cdot (x - (3)) + 4$

Étape 11.2

Simplifiez $2 \cdot (x - (3)) + 4$ .

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = 2 \cdot (x - 3) + 4$

Étape 11.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = 2 x + 2 \cdot - 3 + 4$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$y = 2 x - 6 + 4$

Étape 11.2.2

Additionnez $- 6$ et $4$ .

$y = 2 x - 2$

Étape 12

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - 2 \cdot (x - (3)) + 4$

Étape 12.2

Simplifiez $- 2 \cdot (x - (3)) + 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = - 2 \cdot (x - 3) + 4$

Étape 12.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 2 x - 2 \cdot - 3 + 4$

Étape 12.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$y = - 2 x + 6 + 4$

Étape 12.2.2

Additionnez $6$ et $4$ .

$y = - 2 x + 10$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = 2 x - 2, y = - 2 x + 10$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(3, 4)$

Sommets : $(3, 8), (3, 0)$

Foyers : $(3, 4 + 2 \sqrt{5}), (3, 4 - 2 \sqrt{5})$

Excentricité : $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Paramètre focal : $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Asymptotes : $y = 2 x - 2$ , $y = - 2 x + 10$

Étape 15