Pré-algèbre Exemples

$12 x^{2} + 12 x^{- \frac{1}{2}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $12 x^{2} + \frac{12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$ est indéfinie.

$x \leq 0$

Étape 2

Comme $12 x^{2} + \frac{12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la gauche et $12 x^{2} + \frac{12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la droite, $x = 0$ est une asymptote verticale.

$x = 0$

Étape 3

Comme la limite n’existe pas, il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 4

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 4.1

Associez.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $12 x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{12 x^{2} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{12 x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.3.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 12$ .

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Étape 4.1.3.1.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (x^{2} x^{\frac{1}{2}}) + 12}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.3.1.2

Factorisez $12$ à partir de $12$ .

$\frac{12 (x^{2} x^{\frac{1}{2}}) + 12 (1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.3.1.3

Factorisez $12$ à partir de $12 (x^{2} x^{\frac{1}{2}}) + 12 (1)$ .

$\frac{12 (x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.3.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{12 (x^{2 + \frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.3.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{12 (x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.3.2.3

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{12 (x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{12 (x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.3.2.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{12 (x^{\frac{4 + 1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.3.2.5.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 24 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.4

Pour écrire $24 x^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{24 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1) + 24 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.6.1

Factorisez $12$ à partir de $12 (x^{\frac{5}{2}} + 1) + 24 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.1.6.1.1

Factorisez $12$ à partir de $24 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1) + 12 (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.6.1.2

Factorisez $12$ à partir de $12 (x^{\frac{5}{2}} + 1) + 12 (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.6.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.6.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.6.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{1 + 1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.6.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{2}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.6.2.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x^{1})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.6.3

Simplifiez $2 x^{1}$ .

$\frac{12 (x^{\frac{5}{2}} + 1 + 2 x)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.7

Simplifiez

$\frac{24 x + 12 x^{\frac{5}{2}} + 12}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2

Factorisez $12$ à partir de $24 x + 12 x^{\frac{5}{2}} + 12$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $12$ à partir de $24 x$ .

$\frac{12 (2 x) + 12 x^{\frac{5}{2}} + 12}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2.2

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{12 (2 x) + 12 (x^{\frac{5}{2}}) + 12}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2.3

Factorisez $12$ à partir de $12$ .

$\frac{12 (2 x) + 12 (x^{\frac{5}{2}}) + 12 (1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2.4

Factorisez $12$ à partir de $12 (2 x) + 12 (x^{\frac{5}{2}})$ .

$\frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}}) + 12 (1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2.5

Factorisez $12$ à partir de $12 (2 x + x^{\frac{5}{2}}) + 12 (1)$ .

$\frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.3

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = \frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 0$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = \frac{12 (2 x + x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6