Pré-algèbre Exemples

$18 x^{2} + 2 y^{2} - 126 x + 2 y + 203 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’ellipse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Soustrayez $203$ des deux côtés de l’équation.

$18 x^{2} + 2 y^{2} - 126 x + 2 y = - 203$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $18 x^{2} - 126 x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 18$

$b = - 126$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 126}{2 \cdot 18}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 126$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 126$ .

$d = \frac{2 \cdot - 63}{2 \cdot 18}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 18$ .

$d = \frac{2 \cdot - 63}{2 (18)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 63}{2 \cdot 18}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 63}{18}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 63$ et $18$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $- 63$ .

$d = \frac{9 (- 7)}{18}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$d = \frac{9 \cdot - 7}{9 \cdot 2}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{9 \cdot - 7}{9 \cdot 2}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 7}{2}$

Étape 1.2.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{7}{2}$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 126)}^{2}}{4 \cdot 18}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 126$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{15876}{4 \cdot 18}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $18$ .

$e = 0 - \frac{15876}{72}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Annulez le facteur commun à $15876$ et $72$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1.3.1

Factorisez $36$ à partir de $15876$ .

$e = 0 - \frac{36 (441)}{72}$

Étape 1.2.4.2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1.3.2.1

Factorisez $36$ à partir de $72$ .

$e = 0 - \frac{36 \cdot 441}{36 \cdot 2}$

Étape 1.2.4.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{36 \cdot 441}{36 \cdot 2}$

Étape 1.2.4.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - \frac{441}{2}$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $\frac{441}{2}$ de $0$ .

$e = - \frac{441}{2}$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{441}{2}$ .

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{441}{2}$

Étape 1.3

Remplacez $18 x^{2} - 126 x$ par $18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{441}{2}$ dans l’équation $18 x^{2} + 2 y^{2} - 126 x + 2 y = - 203$ .

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{441}{2} + 2 y^{2} + 2 y = - 203$

Étape 1.4

Déplacez $- \frac{441}{2}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{441}{2}$ des deux côtés.

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 y^{2} + 2 y = - 203 + \frac{441}{2}$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $2 y^{2} + 2 y$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 2$

$b = 2$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{1}{2}$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à $2^{2}$ et $2$ .

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Étape 1.5.4.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2^{2}$ .

$e = 0 - \frac{2 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Étape 1.5.4.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.4.2.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \cdot 2$ .

$e = 0 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

Étape 1.5.4.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

Étape 1.5.4.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5.4.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - \frac{1}{2}$

Étape 1.5.4.2.2

Soustrayez $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{2}$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2}$ .

$2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2}$

Étape 1.6

Remplacez $2 y^{2} + 2 y$ par $2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2}$ dans l’équation $18 x^{2} + 2 y^{2} - 126 x + 2 y = - 203$ .

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} = - 203 + \frac{441}{2}$

Étape 1.7

Déplacez $- \frac{1}{2}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{1}{2}$ des deux côtés.

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} = - 203 + \frac{441}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 1.8

Simplifiez $- 203 + \frac{441}{2} + \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.8.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} = - 203 + \frac{441 + 1}{2}$

Étape 1.8.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.8.2.1

Additionnez $441$ et $1$ .

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} = - 203 + \frac{442}{2}$

Étape 1.8.2.2

Divisez $442$ par $2$ .

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} = - 203 + 221$

Étape 1.8.2.3

Additionnez $- 203$ et $221$ .

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 18$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $18$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{18 {(x - \frac{7}{2})}^{2}}{18} + \frac{2 {(y + \frac{1}{2})}^{2}}{18} = \frac{18}{18}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + \frac{{(y + \frac{1}{2})}^{2}}{9} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 3$

$b = 1$

$k = - \frac{1}{2}$

$h = \frac{7}{2}$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2})$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(3)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{9 - {(1)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{9 - 1 \cdot 1}$

Étape 5.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\sqrt{9 - 1}$

Étape 5.3.4

Soustrayez $1$ de $9$ .

$\sqrt{8}$

Étape 5.3.5

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 5.3.5.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\sqrt{4 (2)}$

Étape 5.3.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Étape 5.3.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 \sqrt{2}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} + 3)$

Étape 6.3

Simplifiez

$(\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$

Étape 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - (3))$

Étape 6.6

Simplifiez

$(\frac{7}{2}, - \frac{7}{2})$

Étape 6.7

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{7}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{7}{2})$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} + 2 \sqrt{2})$

Étape 7.3

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - (2 \sqrt{2}))$

Étape 7.5

Simplifiez

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - 2 \sqrt{2})$

Étape 7.6

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - 2 \sqrt{2})$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - {(1)}^{2}}}{3}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - 1^{2}}}{3}$

Étape 8.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\sqrt{9 - 1 \cdot 1}}{3}$

Étape 8.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{9 - 1}}{3}$

Étape 8.3.4

Soustrayez $1$ de $9$ .

$\frac{\sqrt{8}}{3}$

Étape 8.3.5

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 8.3.5.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{3}$

Étape 8.3.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3}$

Étape 8.3.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{7}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - 2 \sqrt{2})$

Excentricité : $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Étape 10