Pré-algèbre Exemples

$25 x^{2} - 9 y^{2} + 100 x - 54 y - 206 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

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Étape 1.1

Ajoutez $206$ aux deux côtés de l’équation.

$25 x^{2} - 9 y^{2} + 100 x - 54 y = 206$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $25 x^{2} + 100 x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 25$

$b = 100$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{100}{2 \cdot 25}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $100$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $100$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 25}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 (25)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 25}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{50}{25}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $50$ et $25$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $50$ .

$d = \frac{25 \cdot 2}{25}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $25$ .

$d = \frac{25 \cdot 2}{25 (1)}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{2}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$d = 2$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{100^{2}}{4 \cdot 25}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $100$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot 25}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{100}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $10000$ par $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $100$ .

$e = 0 - 100$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $100$ de $0$ .

$e = - 100$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $25 {(x + 2)}^{2} - 100$ .

$25 {(x + 2)}^{2} - 100$

Étape 1.3

Remplacez $25 x^{2} + 100 x$ par $25 {(x + 2)}^{2} - 100$ dans l’équation $25 x^{2} - 9 y^{2} + 100 x - 54 y = 206$ .

$25 {(x + 2)}^{2} - 100 - 9 y^{2} - 54 y = 206$

Étape 1.4

Déplacez $- 100$ du côté droit de l’équation en ajoutant $100$ des deux côtés.

$25 {(x + 2)}^{2} - 9 y^{2} - 54 y = 206 + 100$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $- 9 y^{2} - 54 y$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 9$

$b = - 54$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 54}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 54$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 54$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (- 9)}$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 27}{- 9}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 27$ et $- 9$ .

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Étape 1.5.3.2.2.1

Factorisez $- 9$ à partir de $- 27$ .

$d = \frac{- 9 (3)}{- 9}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.2.2.2.1

Factorisez $- 9$ à partir de $- 9$ .

$d = \frac{- 9 \cdot 3}{- 9 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 9 \cdot 3}{- 9 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{3}{1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$d = 3$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot - 9}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $- 54$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot - 9}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{- 36}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $2916$ par $- 36$ .

$e = 0 - - 81$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 81$ .

$e = 0 + 81$

Étape 1.5.4.2.2

Additionnez $0$ et $81$ .

$e = 81$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 9 {(y + 3)}^{2} + 81$ .

$- 9 {(y + 3)}^{2} + 81$

Étape 1.6

Remplacez $- 9 y^{2} - 54 y$ par $- 9 {(y + 3)}^{2} + 81$ dans l’équation $25 x^{2} - 9 y^{2} + 100 x - 54 y = 206$ .

$25 {(x + 2)}^{2} - 9 {(y + 3)}^{2} + 81 = 206 + 100$

Étape 1.7

Déplacez $81$ du côté droit de l’équation en ajoutant $81$ des deux côtés.

$25 {(x + 2)}^{2} - 9 {(y + 3)}^{2} = 206 + 100 - 81$

Étape 1.8

Simplifiez $206 + 100 - 81$ .

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Étape 1.8.1

Additionnez $206$ et $100$ .

$25 {(x + 2)}^{2} - 9 {(y + 3)}^{2} = 306 - 81$

Étape 1.8.2

Soustrayez $81$ de $306$ .

$25 {(x + 2)}^{2} - 9 {(y + 3)}^{2} = 225$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $225$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{25 {(x + 2)}^{2}}{225} - \frac{9 {(y + 3)}^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{25} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 3$

$b = 5$

$k = - 3$

$h = - 2$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(- 2, - 3)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(5)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{9 + {(5)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{9 + 25}$

Étape 5.3.3

Additionnez $9$ et $25$ .

$\sqrt{34}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(1, - 3)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 5, - 3)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm a, k)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(1, - 3), (- 5, - 3)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 2 + \sqrt{34}, - 3)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 2 - \sqrt{34}, - 3)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(- 2 + \sqrt{34}, - 3), (- 2 - \sqrt{34}, - 3)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(5)}^{2}}}{3}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 5^{2}}}{3}$

Étape 8.3.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 25}}{3}$

Étape 8.3.3

Additionnez $9$ et $25$ .

$\frac{\sqrt{34}}{3}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{5^{2}}{\sqrt{34}}$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{25}{\sqrt{34}}$

Étape 9.3.2

Multipliez $\frac{25}{\sqrt{34}}$ par $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\frac{25}{\sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$

Étape 9.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.3.1

Multipliez $\frac{25}{\sqrt{34}}$ par $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

Étape 9.3.3.2

Élevez $\sqrt{34}$ à la puissance $1$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1} \sqrt{34}}$

Étape 9.3.3.3

Élevez $\sqrt{34}$ à la puissance $1$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1} {\sqrt{34}}^{1}}$

Étape 9.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{25 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{2}}$

Étape 9.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{34}}^{2}$ comme $34$ .

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Étape 9.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{34}$ comme $34^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{{(34^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{34^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{25 \sqrt{34}}{34^{1}}$

Étape 9.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{25 \sqrt{34}}{34}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ car cette hyperbole ouvre vers la gauche et vers la droite.

$y = \pm \frac{5}{3} \cdot (x - (- 2)) - 3$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{5}{3} \cdot (x - (- 2)) - 3$

Étape 11.2

Simplifiez $\frac{5}{3} \cdot (x - (- 2)) - 3$ .

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$y = \frac{5}{3} \cdot (x + 2) - 3$

Étape 11.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{5}{3} x + \frac{5}{3} \cdot 2 - 3$

Étape 11.2.1.3

Associez $\frac{5}{3}$ et $x$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot 2 - 3$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $\frac{5}{3} \cdot 2$ .

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Étape 11.2.1.4.1

Associez $\frac{5}{3}$ et $2$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5 \cdot 2}{3} - 3$

Étape 11.2.1.4.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{10}{3} - 3$

Étape 11.2.2

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{10}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 11.2.3

Associez $- 3$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{10}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{10 - 3 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.5.1

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{10 - 9}{3}$

Étape 11.2.5.2

Soustrayez $9$ de $10$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 12

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

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Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{5}{3} \cdot (x - (- 2)) - 3$

Étape 12.2

Simplifiez $- \frac{5}{3} \cdot (x - (- 2)) - 3$ .

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$y = - \frac{5}{3} \cdot (x + 2) - 3$

Étape 12.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{5}{3} x - \frac{5}{3} \cdot 2 - 3$

Étape 12.2.1.3

Associez $x$ et $\frac{5}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} - \frac{5}{3} \cdot 2 - 3$

Étape 12.2.1.4

Multipliez $- \frac{5}{3} \cdot 2$ .

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Étape 12.2.1.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} - 2 (\frac{5}{3}) - 3$

Étape 12.2.1.4.2

Associez $- 2$ et $\frac{5}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{- 2 \cdot 5}{3} - 3$

Étape 12.2.1.4.3

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{- 10}{3} - 3$

Étape 12.2.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.5.1

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{5 \cdot x}{3} + \frac{- 10}{3} - 3$

Étape 12.2.1.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{5 x}{3} - \frac{10}{3} - 3$

Étape 12.2.2

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{5 x}{3} - \frac{10}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 12.2.3

Associez $- 3$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{5 x}{3} - \frac{10}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3}$

Étape 12.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{- 10 - 3 \cdot 3}{3}$

Étape 12.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.5.1

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{- 10 - 9}{3}$

Étape 12.2.5.2

Soustrayez $9$ de $- 10$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{- 19}{3}$

Étape 12.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{5 x}{3} - \frac{19}{3}$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{1}{3}, y = - \frac{5 x}{3} - \frac{19}{3}$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(- 2, - 3)$

Sommets : $(1, - 3), (- 5, - 3)$

Foyers : $(- 2 + \sqrt{34}, - 3), (- 2 - \sqrt{34}, - 3)$

Excentricité : $\frac{\sqrt{34}}{3}$

Paramètre focal : $\frac{25 \sqrt{34}}{34}$

Asymptotes : $y = \frac{5 x}{3} + \frac{1}{3}$ , $y = - \frac{5 x}{3} - \frac{19}{3}$

Étape 15