Pré-algèbre Exemples

$| \frac{x}{3} - \frac{x}{4} | - 1 < 0$

Étape 1

Écrivez $| \frac{x}{3} - \frac{x}{4} | - 1 < 0$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 1.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$\frac{x}{3} - \frac{x}{4} \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez l’inégalité.

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Étape 1.2.1

Simplifiez $\frac{x}{3} - \frac{x}{4}$ .

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Étape 1.2.1.1

Pour écrire $\frac{x}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} \geq 0$

Étape 1.2.1.2

Pour écrire $- \frac{x}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} \geq 0$

Étape 1.2.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.2.1.3.1

Multipliez $\frac{x}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} \geq 0$

Étape 1.2.1.3.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} \geq 0$

Étape 1.2.1.3.3

Multipliez $\frac{x}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{4 \cdot 3} \geq 0$

Étape 1.2.1.3.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{12} \geq 0$

Étape 1.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x \cdot 4 - x \cdot 3}{12} \geq 0$

Étape 1.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 4 - x \cdot 3$ .

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Étape 1.2.1.5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 4$ .

$\frac{x (4) - x \cdot 3}{12} \geq 0$

Étape 1.2.1.5.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x \cdot 3$ .

$\frac{x (4) + x (- 1 \cdot 3)}{12} \geq 0$

Étape 1.2.1.5.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (4) + x (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{x (4 - 1 \cdot 3)}{12} \geq 0$

Étape 1.2.1.5.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{x (4 - 3)}{12} \geq 0$

Étape 1.2.1.5.3

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{x \cdot 1}{12} \geq 0$

Étape 1.2.1.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x}{12} \geq 0$

Étape 1.2.2

Multipliez les deux côtés par $12$ .

$\frac{x}{12} \cdot 12 \geq 0 \cdot 12$

Étape 1.2.3

Simplifiez

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 1.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{12} \cdot 12 \geq 0 \cdot 12$

Étape 1.2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x \geq 0 \cdot 12$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Multipliez $0$ par $12$ .

$x \geq 0$

Étape 1.3

Dans la partie où $\frac{x}{3} - \frac{x}{4}$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$\frac{x}{3} - \frac{x}{4} - 1 < 0$

Étape 1.4

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$\frac{x}{3} - \frac{x}{4} < 0$

Étape 1.5

Résolvez l’inégalité.

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Étape 1.5.1

Simplifiez $\frac{x}{3} - \frac{x}{4}$ .

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Étape 1.5.1.1

Pour écrire $\frac{x}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} < 0$

Étape 1.5.1.2

Pour écrire $- \frac{x}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} < 0$

Étape 1.5.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.5.1.3.1

Multipliez $\frac{x}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} < 0$

Étape 1.5.1.3.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} < 0$

Étape 1.5.1.3.3

Multipliez $\frac{x}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{4 \cdot 3} < 0$

Étape 1.5.1.3.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{12} < 0$

Étape 1.5.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x \cdot 4 - x \cdot 3}{12} < 0$

Étape 1.5.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 4 - x \cdot 3$ .

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Étape 1.5.1.5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 4$ .

$\frac{x (4) - x \cdot 3}{12} < 0$

Étape 1.5.1.5.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x \cdot 3$ .

$\frac{x (4) + x (- 1 \cdot 3)}{12} < 0$

Étape 1.5.1.5.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (4) + x (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{x (4 - 1 \cdot 3)}{12} < 0$

Étape 1.5.1.5.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{x (4 - 3)}{12} < 0$

Étape 1.5.1.5.3

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{x \cdot 1}{12} < 0$

Étape 1.5.1.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x}{12} < 0$

Étape 1.5.2

Multipliez les deux côtés par $12$ .

$\frac{x}{12} \cdot 12 < 0 \cdot 12$

Étape 1.5.3

Simplifiez

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Étape 1.5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.3.1.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 1.5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{12} \cdot 12 < 0 \cdot 12$

Étape 1.5.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x < 0 \cdot 12$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.2.1

Multipliez $0$ par $12$ .

$x < 0$

Étape 1.6

Dans la partie où $\frac{x}{3} - \frac{x}{4}$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0$

Étape 1.7

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} \frac{x}{3} - \frac{x}{4} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.8

Simplifiez $\frac{x}{3} - \frac{x}{4} - 1 < 0$ .

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Étape 1.8.1

Pour écrire $\frac{x}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.8.2

Pour écrire $- \frac{x}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.8.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.8.3.1

Multipliez $\frac{x}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

${\begin{cases} \frac{x \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.8.3.2

Multipliez $3$ par $4$ .

${\begin{cases} \frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.8.3.3

Multipliez $\frac{x}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

${\begin{cases} \frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{4 \cdot 3} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.8.3.4

Multipliez $4$ par $3$ .

${\begin{cases} \frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.8.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${\begin{cases} \frac{x \cdot 4 - x \cdot 3}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.8.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.8.5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 4 - x \cdot 3$ .

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Étape 1.8.5.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 4$ .

${\begin{cases} \frac{x (4) - x \cdot 3}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.8.5.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x \cdot 3$ .

${\begin{cases} \frac{x (4) + x (- 1 \cdot 3)}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.8.5.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (4) + x (- 1 \cdot 3)$ .

${\begin{cases} \frac{x (4 - 1 \cdot 3)}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.8.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

${\begin{cases} \frac{x (4 - 3)}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.8.5.1.3

Soustrayez $3$ de $4$ .

${\begin{cases} \frac{x \cdot 1}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.8.5.2

Multipliez $x$ par $1$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.9.1

Pour écrire $\frac{x}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.9.2

Pour écrire $- \frac{x}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.9.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.9.3.1

Multipliez $\frac{x}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.9.3.2

Multipliez $3$ par $4$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.9.3.3

Multipliez $\frac{x}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{4 \cdot 3}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.9.3.4

Multipliez $4$ par $3$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{12}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.9.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x \cdot 4 - x \cdot 3}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.9.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.9.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 4 - x \cdot 3$ .

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Étape 1.9.5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 4$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x (4) - x \cdot 3}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.9.5.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x \cdot 3$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x (4) + x (- 1 \cdot 3)}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.9.5.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (4) + x (- 1 \cdot 3)$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x (4 - 1 \cdot 3)}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.9.5.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x (4 - 3)}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.9.5.3

Soustrayez $3$ de $4$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x \cdot 1}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.9.6

Multipliez $x$ par $1$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 2

Résolvez $\frac{x}{12} - 1 < 0$ quand $x \geq 0$ .

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Étape 2.1

Résolvez $\frac{x}{12} - 1 < 0$ pour $x$ .

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Étape 2.1.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$\frac{x}{12} < 1$

Étape 2.1.2

Multipliez les deux côtés par $12$ .

$\frac{x}{12} \cdot 12 < 1 \cdot 12$

Étape 2.1.3

Simplifiez

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Étape 2.1.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 2.1.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{12} \cdot 12 < 1 \cdot 12$

Étape 2.1.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x < 1 \cdot 12$

Étape 2.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.3.2.1

Multipliez $12$ par $1$ .

$x < 12$

Étape 2.2

Déterminez l’intersection de $x < 12$ et $x \geq 0$ .

$0 \leq x < 12$

Étape 3

Résolvez $- \frac{x}{12} - 1 < 0$ quand $x < 0$ .

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Étape 3.1

Résolvez $- \frac{x}{12} - 1 < 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$- \frac{x}{12} < 1$

Étape 3.1.2

Divisez chaque terme dans $- \frac{x}{12} < 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{x}{12} < 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- \frac{x}{12}}{- 1} > \frac{1}{- 1}$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{x}{12}}{1} > \frac{1}{- 1}$

Étape 3.1.2.2.2

Divisez $\frac{x}{12}$ par $1$ .

$\frac{x}{12} > \frac{1}{- 1}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$\frac{x}{12} > - 1$

Étape 3.1.3

Multipliez les deux côtés par $12$ .

$\frac{x}{12} \cdot 12 > - 1 \cdot 12$

Étape 3.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.4.1.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{12} \cdot 12 > - 1 \cdot 12$

Étape 3.1.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x > - 1 \cdot 12$

Étape 3.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$x > - 12$

Étape 3.2

Déterminez l’intersection de $x > - 12$ et $x < 0$ .

$- 12 < x < 0$

Étape 4

Déterminez l’union des solutions.

$- 12 < x < 12$

Étape 5