Pré-algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{x^{5}}}{\sqrt{x^{12}}}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{| \frac{1}{x^{3}} | \sqrt{x}}{x}$ est indéfinie.

$x \leq 0$

Étape 2

Comme $\frac{| \frac{1}{x^{3}} | \sqrt{x}}{x}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la gauche et $\frac{| \frac{1}{x^{3}} | \sqrt{x}}{x}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la droite, $x = 0$ est une asymptote verticale.

$x = 0$

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{| \frac{1}{x^{3}} | \sqrt{x}}{x}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Réduisez.

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Étape 3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{| \frac{1}{x^{3}} | x^{\frac{1}{2}}}{x}$

Étape 3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $| \frac{1}{x^{3}} | x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (| \frac{1}{x^{3}} | x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Étape 3.1.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (| \frac{1}{x^{3}} | x^{- \frac{1}{2}})}{x^{1}}$

Étape 3.1.3.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (| \frac{1}{x^{3}} | x^{- \frac{1}{2}})}{x \cdot 1}$

Étape 3.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (| \frac{1}{x^{3}} | x^{- \frac{1}{2}})}{x \cdot 1}$

Étape 3.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{| \frac{1}{x^{3}} | x^{- \frac{1}{2}}}{1}$

Étape 3.1.3.5

Divisez $| \frac{1}{x^{3}} | x^{- \frac{1}{2}}$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} | \frac{1}{x^{3}} | x^{- \frac{1}{2}}$

Étape 3.1.4

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{| \frac{1}{x^{3}} |}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{| \frac{1}{x^{3}} |}{x^{\frac{1}{2}}}$ approche de $0$ .

$0$

Étape 4

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = 0$

Étape 5

Utilisez la division polynomiale pour déterminer les asymptotes obliques. Comme cette expression contient un radical, la division polynomiale ne peut pas être réalisée.

Asymptotes obliques introuvables

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 0$

Asymptotes horizontales : $y = 0$

Asymptotes obliques introuvables

Étape 7