Pré-algèbre Exemples

$\frac{3}{5^{2 x - 3}} > \frac{5}{3^{x + 2}}$

Étape 1

Take the log of both sides of the inequality.

$\ln (\frac{3}{5^{2 x - 3}}) > \ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$

Étape 2

Réécrivez $\ln (\frac{3}{5^{2 x - 3}})$ comme $\ln (3) - \ln (5^{2 x - 3})$ .

$\ln (3) - \ln (5^{2 x - 3}) > \ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$

Étape 3

Développez $\ln (5^{2 x - 3})$ en déplaçant $2 x - 3$ hors du logarithme.

$\ln (3) - ((2 x - 3) \ln (5)) > \ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$

Étape 4

Supprimez les parenthèses.

$\ln (3) - (2 x - 3) \ln (5) > \ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$

Étape 5

Réécrivez $\ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$ comme $\ln (5) - \ln (3^{x + 2})$ .

$\ln (3) - (2 x - 3) \ln (5) > \ln (5) - \ln (3^{x + 2})$

Étape 6

Développez $\ln (3^{x + 2})$ en déplaçant $x + 2$ hors du logarithme.

$\ln (3) - (2 x - 3) \ln (5) > \ln (5) - ((x + 2) \ln (3))$

Étape 7

Supprimez les parenthèses.

$\ln (3) - (2 x - 3) \ln (5) > \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Étape 8

Résolvez l’inégalité pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (3) + (- (2 x) + 3) \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Étape 8.1.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\ln (3) + (- 2 x + 3) \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Étape 8.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\ln (3) + (- 2 x + 3) \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Étape 8.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (3) - 2 x \ln (5) + 3 \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Étape 8.1.2

Remettez dans l’ordre $\ln (3)$ et $- 2 x \ln (5)$ .

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Étape 8.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = \ln (5) + (- x - 1 \cdot 2) \ln (3)$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = \ln (5) + (- x - 2) \ln (3)$

Étape 8.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = \ln (5) - x \ln (3) - 2 \ln (3)$

Étape 8.2.2

Remettez dans l’ordre $\ln (5)$ et $- x \ln (3)$ .

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Étape 8.3

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Simplifiez $- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5)$ .

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Étape 8.3.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.1.1

Simplifiez $- 2 \ln (5)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$x (- \ln (5^{2})) + \ln (3) + 3 \ln (5) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Étape 8.3.1.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x (- \ln (25)) + \ln (3) + 3 \ln (5) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Étape 8.3.1.1.3

Simplifiez $3 \ln (5)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$x (- \ln (25)) + \ln (3) + \ln (5^{3}) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Étape 8.3.1.1.4

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$x (- \ln (25)) + \ln (3) + \ln (125) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Étape 8.3.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x (- \ln (25)) + \ln (3 \cdot 125) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Étape 8.3.1.3

Multipliez $3$ par $125$ .

$x (- \ln (25)) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Étape 8.3.1.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x (- \ln (25)) + \ln (375)$ .

$- x \ln (25) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Étape 8.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.1

Simplifiez $- x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$ .

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Étape 8.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.4.1.1.1

Simplifiez $- 2 \ln (3)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$- x \ln (25) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (5) - \ln (3^{2})$

Étape 8.4.1.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- x \ln (25) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (5) - \ln (9)$

Étape 8.4.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- x \ln (25) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (\frac{5}{9})$

Étape 8.5

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- x \ln (25) + \ln (375) + x \ln (3) - \ln (\frac{5}{9}) = 0$

Étape 8.6

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (\frac{375}{\frac{5}{9}}) = 0$

Étape 8.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.7.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (375 (\frac{9}{5})) = 0$

Étape 8.7.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 8.7.2.1

Factorisez $5$ à partir de $375$ .

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (5 (75) (\frac{9}{5})) = 0$

Étape 8.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (5 \cdot (75 (\frac{9}{5}))) = 0$

Étape 8.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (75 \cdot 9) = 0$

Étape 8.7.3

Multipliez $75$ par $9$ .

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (675) = 0$

Étape 8.8

Soustrayez $\ln (675)$ des deux côtés de l’équation.

$- x \ln (25) + x \ln (3) = - \ln (675)$

Étape 8.9

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (25) + x \ln (3)$ .

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Étape 8.9.1

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (25)$ .

$x (- 1 \ln (25)) + x \ln (3) = - \ln (675)$

Étape 8.9.2

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (3)$ .

$x (- 1 \ln (25)) + x (\ln (3)) = - \ln (675)$

Étape 8.9.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- 1 \ln (25)) + x (\ln (3))$ .

$x (- 1 \ln (25) + \ln (3)) = - \ln (675)$

Étape 8.10

Réécrivez $- 1 \ln (25)$ comme $- \ln (25)$ .

$x (- \ln (25) + \ln (3)) = - \ln (675)$

Étape 8.11

Divisez chaque terme dans $x (- \ln (25) + \ln (3)) = - \ln (675)$ par $- \ln (25) + \ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 8.11.1

Divisez chaque terme dans $x (- \ln (25) + \ln (3)) = - \ln (675)$ par $- \ln (25) + \ln (3)$ .

$\frac{x (- \ln (25) + \ln (3))}{- \ln (25) + \ln (3)} = \frac{- \ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

Étape 8.11.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.11.2.1

Annulez le facteur commun de $- \ln (25) + \ln (3)$ .

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Étape 8.11.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (- \ln (25) + \ln (3))}{- \ln (25) + \ln (3)} = \frac{- \ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

Étape 8.11.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

Étape 8.11.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.11.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

Étape 8.11.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (25)$ .

$x = - \frac{\ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

Étape 8.11.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $\ln (3)$ .

$x = - \frac{\ln (675)}{- \ln (25) - 1 (- \ln (3))}$

Étape 8.11.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (25) - 1 (- \ln (3))$ .

$x = - \frac{\ln (675)}{- (\ln (25) - \ln (3))}$

Étape 8.11.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.11.3.5.1

Réécrivez $- (\ln (25) - \ln (3))$ comme $- 1 (\ln (25) - \ln (3))$ .

$x = - \frac{\ln (675)}{- 1 (\ln (25) - \ln (3))}$

Étape 8.11.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - - \frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$

Étape 8.11.3.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1 \frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$

Étape 8.11.3.5.4

Multipliez $\frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < \frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$

Étape 10