Pré-algèbre Exemples

$\frac{6 z^{3} + 13 z^{2} - 4 z + 4}{z + \frac{1}{6}}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{6 (6 x^{3} + 13 x^{2} - 4 x + 4)}{6 x + 1}$ est indéfinie.

$x = - \frac{1}{6}$

Étape 2

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 3

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 1$

Étape 4

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 5

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 5.1

Factorisez $6$ à partir de $36 x^{3} + 78 x^{2} - 24 x + 24$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $6$ à partir de $36 x^{3}$ .

$\frac{6 (6 x^{3}) + 78 x^{2} - 24 x + 24}{6 x + 1}$

Étape 5.1.2

Factorisez $6$ à partir de $78 x^{2}$ .

$\frac{6 (6 x^{3}) + 6 (13 x^{2}) - 24 x + 24}{6 x + 1}$

Étape 5.1.3

Factorisez $6$ à partir de $- 24 x$ .

$\frac{6 (6 x^{3}) + 6 (13 x^{2}) + 6 (- 4 x) + 24}{6 x + 1}$

Étape 5.1.4

Factorisez $6$ à partir de $24$ .

$\frac{6 (6 x^{3}) + 6 (13 x^{2}) + 6 (- 4 x) + 6 (4)}{6 x + 1}$

Étape 5.1.5

Factorisez $6$ à partir de $6 (6 x^{3}) + 6 (13 x^{2})$ .

$\frac{6 (6 x^{3} + 13 x^{2}) + 6 (- 4 x) + 6 (4)}{6 x + 1}$

Étape 5.1.6

Factorisez $6$ à partir de $6 (6 x^{3} + 13 x^{2}) + 6 (- 4 x)$ .

$\frac{6 (6 x^{3} + 13 x^{2} - 4 x) + 6 (4)}{6 x + 1}$

Étape 5.1.7

Factorisez $6$ à partir de $6 (6 x^{3} + 13 x^{2} - 4 x) + 6 (4)$ .

$\frac{6 (6 x^{3} + 13 x^{2} - 4 x + 4)}{6 x + 1}$

Étape 5.2

Développez $6 (6 x^{3} + 13 x^{2} - 4 x + 4)$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 (6 x^{3} + 13 x^{2} - 4 x) + 6 \cdot 4}{6 x + 1}$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 (6 x^{3} + 13 x^{2}) + 6 (- 4 x) + 6 \cdot 4}{6 x + 1}$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 (6 x^{3}) + 6 (13 x^{2}) + 6 (- 4 x) + 6 \cdot 4}{6 x + 1}$

Étape 5.2.4

Supprimez les parenthèses.

$\frac{6 \cdot (6 x^{3}) + 6 (13 x^{2}) + 6 (- 4 x) + 6 \cdot 4}{6 x + 1}$

Étape 5.2.5

Supprimez les parenthèses.

$\frac{6 \cdot (6 x^{3}) + 6 \cdot (13 x^{2}) + 6 (- 4 x) + 6 \cdot 4}{6 x + 1}$

Étape 5.2.6

Supprimez les parenthèses.

$\frac{6 \cdot (6 x^{3}) + 6 \cdot (13 x^{2}) + 6 \cdot (- 4 x) + 6 \cdot 4}{6 x + 1}$

Étape 5.2.7

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{36 x^{3} + 6 \cdot (13 x^{2}) + 6 \cdot (- 4 x) + 6 \cdot 4}{6 x + 1}$

Étape 5.2.8

Multipliez $6$ par $13$ .

$\frac{36 x^{3} + 78 x^{2} + 6 \cdot (- 4 x) + 6 \cdot 4}{6 x + 1}$

Étape 5.2.9

Multipliez $6$ par $- 4$ .

$\frac{36 x^{3} + 78 x^{2} - 24 x + 6 \cdot 4}{6 x + 1}$

Étape 5.2.10

Multipliez $6$ par $4$ .

$\frac{36 x^{3} + 78 x^{2} - 24 x + 24}{6 x + 1}$

Étape 5.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$6 x$

$1$

$36 x^{3}$

$78 x^{2}$

$24 x$

$24$

Étape 5.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $36 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $6 x$ .

					$6 x^{2}$
	$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$

Étape 5.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$6 x^{2}$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			+	$36 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Étape 5.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $36 x^{3} + 6 x^{2}$

				$6 x^{2}$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Étape 5.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$6 x^{2}$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$

Étape 5.8

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$6 x^{2}$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$	-	$24 x$

Étape 5.9

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $72 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $6 x$ .

				$6 x^{2}$	+	$12 x$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$	-	$24 x$

Étape 5.10

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$6 x^{2}$	+	$12 x$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$	-	$24 x$
					+	$72 x^{2}$	+	$12 x$

Étape 5.11

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $72 x^{2} + 12 x$

				$6 x^{2}$	+	$12 x$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$72 x^{2}$	-	$12 x$

Étape 5.12

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$6 x^{2}$	+	$12 x$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$72 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$36 x$

Étape 5.13

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$6 x^{2}$	+	$12 x$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$72 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$36 x$	+	$24$

Étape 5.14

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 36 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $6 x$ .

				$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$6$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$72 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$36 x$	+	$24$

Étape 5.15

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$6$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$72 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$36 x$	+	$24$
							-	$36 x$	-	$6$

Étape 5.16

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 36 x - 6$

				$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$6$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$72 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$36 x$	+	$24$
							+	$36 x$	+	$6$

Étape 5.17

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$6$
$6 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$78 x^{2}$	-	$24 x$	+	$24$
			-	$36 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$72 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$72 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$36 x$	+	$24$
							+	$36 x$	+	$6$
									+	$30$

Étape 5.18

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$6 x^{2} + 12 x - 6 + \frac{30}{6 x + 1}$

Étape 5.19

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = 6 x^{2} + 12 x - 6$

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - \frac{1}{6}$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = 6 x^{2} + 12 x - 6$

Étape 7