Pré-algèbre Exemples

$\frac{x^{4} + 4 x^{3} + 7 x^{2} - 5 x - 33}{x + 3}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{4} + 4 x^{3} + 7 x^{2} - 5 x - 33}{x + 3}$ est indéfinie.

$x = - 3$

Étape 2

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 3

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 4$

$m = 1$

Étape 4

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 5

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

Étape 5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

Étape 5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Étape 5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{4} + 3 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Étape 5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{3}$

Étape 5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

Étape 5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

Étape 5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

Étape 5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 3 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

Étape 5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

Étape 5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$5 x$

Étape 5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$5 x$

Étape 5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$12 x$

Étape 5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x^{2} + 12 x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$12 x$

Étape 5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$12 x$

$17 x$

Étape 5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$12 x$

$17 x$

$33$

Étape 5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 17 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$17$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$12 x$

$17 x$

$33$

Étape 5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$17$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	+	$4 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$33$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$
					+	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							+	$4 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
									-	$17 x$	-	$33$
									-	$17 x$	-	$51$

Étape 5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 17 x - 51$

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$17$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$12 x$

$17 x$

$33$

$17 x$

$51$

Étape 5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$17$

$x$

$3$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$33$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$12 x$

$17 x$

$33$

$17 x$

$51$

$18$

Étape 5.21

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$x^{3} + x^{2} + 4 x - 17 + \frac{18}{x + 3}$

Étape 5.22

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = x^{3} + x^{2} + 4 x - 17$

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 3$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = x^{3} + x^{2} + 4 x - 17$

Étape 7