Pré-algèbre Exemples

$\frac{2 x (2 x - 1)}{x - 2} < 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$2 x = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 5

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 6

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = \frac{1}{2}$

$x = 2$

Étape 7

Consolidez les solutions.

$x = 0, \frac{1}{2}, 2$

Étape 8

Déterminez le domaine de $\frac{2 x (2 x - 1)}{x - 2}$ .

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Étape 8.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x (2 x - 1)}{x - 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 2 = 0$

Étape 8.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 8.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 2$

$x > 2$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (- 2) (2 (- 2) - 1)}{(- 2) - 2} < 0$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $- 5$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.25$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $0.25$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (0.25) (2 (0.25) - 1)}{(0.25) - 2} < 0$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $0.\overline{142857}$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{2} < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{2} < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (1) (2 (1) - 1)}{(1) - 2} < 0$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $- 2$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 10.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (4) (2 (4) - 1)}{(4) - 2} < 0$

Étape 10.4.3

Le côté gauche $28$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Vrai

$0 < x < \frac{1}{2}$ Faux

$\frac{1}{2} < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

$x < 0$ Vrai

$0 < x < \frac{1}{2}$ Faux

$\frac{1}{2} < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < 0$ ou $\frac{1}{2} < x < 2$

Étape 12