Pré-algèbre Exemples

$\sqrt{2 x - 6} < 4$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{2 x - 6}}^{2} < 4^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x - 6}$ comme ${(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 4^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 4^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 x - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 4^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 x - 6)}^{1} < 4^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$2 x - 6 < 4^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$2 x - 6 < 16$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 3.1.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’inégalité.

$2 x < 16 + 6$

Étape 3.1.2

Additionnez $16$ et $6$ .

$2 x < 22$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $2 x < 22$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x < 22$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} < \frac{22}{2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} < \frac{22}{2}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{22}{2}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Divisez $22$ par $2$ .

$x < 11$

Étape 4

Déterminez le domaine de $\sqrt{2 (x - 3)} - 4$ .

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Étape 4.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{2 (x - 3)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$2 (x - 3) \geq 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 (x - 3) \geq 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (x - 3) \geq 0$ par $2$ .

$\frac{2 (x - 3)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x - 3)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Étape 4.2.1.2.1.2

Divisez $x - 3$ par $1$ .

$x - 3 \geq \frac{0}{2}$

Étape 4.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x - 3 \geq 0$

Étape 4.2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x \geq 3$

Étape 4.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[3, \infty)$

Étape 5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 3$

$3 < x < 11$

$x > 11$

Étape 6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 6.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{2 (0) - 6} < 4$

Étape 6.1.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 11$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 11$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 7$

Étape 6.2.2

Remplacez $x$ par $7$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{2 (7) - 6} < 4$

Étape 6.2.3

Le côté gauche $2.82842712$ est inférieur au côté droit $4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 11$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 11$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 14$

Étape 6.3.2

Remplacez $x$ par $14$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{2 (14) - 6} < 4$

Étape 6.3.3

Le côté gauche $4.69041575$ n’est pas inférieur au côté droit $4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 3$ Faux

$3 < x < 11$ Vrai

$x > 11$ Faux

$x < 3$ Faux

$3 < x < 11$ Vrai

$x > 11$ Faux

Étape 7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$3 < x < 11$

Étape 8