Pré-algèbre Exemples

$x (7 - x) > 8$

Étape 1

Simplifiez $x (7 - x)$ .

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Étape 1.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot 7 + x (- x) > 8$

Étape 1.1.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 1.1.2.1

Déplacez $7$ à gauche de $x$ .

$7 \cdot x + x (- x) > 8$

Étape 1.1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$7 \cdot x - x \cdot x > 8$

Étape 1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1

Déplacez $x$ .

$7 x - (x \cdot x) > 8$

Étape 1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$7 x - x^{2} > 8$

Étape 2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’inégalité.

$7 x - x^{2} - 8 > 0$

Étape 3

Convertissez l’inégalité en une équation.

$7 x - x^{2} - 8 = 0$

Étape 4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = 7$ et $c = - 8$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 8)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot - 8$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 32}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $32$ de $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{- 2}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{- 2}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{2}$

Étape 7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot - 8$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 32}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.3

Soustrayez $32$ de $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{- 2}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{- 2}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{2}$

Étape 7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$

Étape 8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot - 8$ .

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Étape 8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 32}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.1.3

Soustrayez $32$ de $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{- 2}$

Étape 8.3

Simplifiez $\frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{- 2}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{2}$

Étape 8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$

Étape 9

Consolidez les solutions.

$x = \frac{7 + \sqrt{17}}{2}, \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$

$\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$

$x > \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$(0) (7 - (0)) > 8$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $0$ n’est pas supérieur au côté droit $8$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$(4) (7 - (4)) > 8$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $12$ est supérieur au côté droit $8$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$(8) (7 - (8)) > 8$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $- 8$ n’est pas supérieur au côté droit $8$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$ Faux

$\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ Vrai

$x > \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ Faux

$x < \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$ Faux

$\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ Vrai

$x > \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$

Étape 13