Pré-algèbre Exemples

$y = - 2 \sec (\frac{π}{2} x + π) + 2$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Pour tout $y = \sec (x)$ , des asymptotes verticales se trouvent sur $x = \frac{π}{2} + n π$ , où $n$ est un entier. Utilisez la période de base pour $y = s e c (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , afin de déterminer les asymptotes verticales pour $y = - 2 \sec (\frac{π x}{2} + π) + 2$ . Définissez l’intérieur de la fonction sécante, $b x + c$ , pour $y = a \sec (b x + c) + d$ égal à $- \frac{π}{2}$ afin de déterminer où l’asymptote verticale se situe pour $y = - 2 \sec (\frac{π x}{2} + π) + 2$ .

$\frac{π x}{2} + π = - \frac{π}{2}$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.2.1.1

Soustrayez $π$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{π x}{2} = - \frac{π}{2} - π$

Étape 1.2.1.2

Pour écrire $- π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} = - \frac{π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.2.1.3

Associez $- π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} = - \frac{π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

Étape 1.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π x}{2} = \frac{- π - π \cdot 2}{2}$

Étape 1.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{- π - 2 π}{2}$

Étape 1.2.1.5.2

Soustrayez $2 π$ de $- π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{- 3 π}{2}$

Étape 1.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{π x}{2} = - \frac{3 π}{2}$

Étape 1.2.2

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$π x = - 3 π$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $π x = - 3 π$ par $π$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $π x = - 3 π$ par $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{- 3 π}{π}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π x}{π} = \frac{- 3 π}{π}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 π}{π}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 1.2.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- 3 π}{π}$

Étape 1.2.3.3.1.2

Divisez $- 3$ par $1$ .

$x = - 3$

Étape 1.3

Définissez l’intérieur de la fonction sécante $\frac{π x}{2} + π$ égal à $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{π x}{2} + π = \frac{3 π}{2}$

Étape 1.4

Résolvez $x$ .

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Étape 1.4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.4.1.1

Soustrayez $π$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π}{2} - π$

Étape 1.4.1.2

Pour écrire $- π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.4.1.3

Associez $- π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

Étape 1.4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π - π \cdot 2}{2}$

Étape 1.4.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π - 2 π}{2}$

Étape 1.4.1.5.2

Soustrayez $2 π$ de $3 π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 1.4.2

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$π x = π$

Étape 1.4.3

Divisez chaque terme dans $π x = π$ par $π$ et simplifiez.

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Étape 1.4.3.1

Divisez chaque terme dans $π x = π$ par $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 1.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Étape 1.4.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{π}{π}$

Étape 1.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.3.3.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 1.4.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{π}{π}$

Étape 1.4.3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 1$

Étape 1.5

La période de base pour $y = - 2 \sec (\frac{π x}{2} + π) + 2$ se produit sur $(- 3, 1)$ , où $- 3$ et $1$ sont des asymptotes verticales.

$(- 3, 1)$

Étape 1.6

Déterminez la période $\frac{2 π}{| b |}$ pour déterminer où les asymptotes verticales existent. Des asymptotes verticales apparaissent chaque demi-période.

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Étape 1.6.1

$\frac{π}{2}$ est d’environ $1.57079632$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Étape 1.6.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{2}{π}$

Étape 1.6.3

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 1.6.3.1

Factorisez $π$ à partir de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Étape 1.6.3.2

Annulez le facteur commun.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Étape 1.6.3.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 2$

Étape 1.6.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$4$

Étape 1.7

Les asymptotes verticales pour $y = - 2 \sec (\frac{π x}{2} + π) + 2$ se produisent sur $- 3$ , $1$ et chaque $x = - 3 + 2 n$ , où $n$ est un entier. C’est la moitié de la période.

$x = - 3 + 2 n$

Étape 1.8

La sécante n’a que des asymptotes verticales.

Aucune asymptote horizontale

Aucune asymptote oblique

Asymptotes verticales : $x = - 3 + 2 n$ où $n$ est un entier

Aucune asymptote horizontale

Aucune asymptote oblique

Asymptotes verticales : $x = - 3 + 2 n$ où $n$ est un entier

Étape 2

Utilisez la forme $a \sec (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = - 2$

$b = \frac{π}{2}$

$c = - π$

$d = 2$

Étape 3

Comme le graphe de la fonction $s e c$ n’a pas de valeur maximale ni minimale, il ne peut y avoir aucune valeur pour l’amplitude.

Amplitude : Aucune

Étape 4

Déterminez la période en utilisant la formule $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Étape 4.1

Déterminez la période de $- 2 \sec (\frac{π x}{2} + π)$ .

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Étape 4.1.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.1.2

Remplacez $b$ par $\frac{π}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

Étape 4.1.3

$\frac{π}{2}$ est d’environ $1.57079632$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Étape 4.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{2}{π}$

Étape 4.1.5

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 4.1.5.1

Factorisez $π$ à partir de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Étape 4.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Étape 4.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 2$

Étape 4.1.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$4$

Étape 4.2

Déterminez la période de $2$ .

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Étape 4.2.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.2

Remplacez $b$ par $\frac{π}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

Étape 4.2.3

$\frac{π}{2}$ est d’environ $1.57079632$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Étape 4.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{2}{π}$

Étape 4.2.5

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 4.2.5.1

Factorisez $π$ à partir de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Étape 4.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Étape 4.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 2$

Étape 4.2.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$4$

Étape 4.3

La période d’addition/soustraction des fonctions trigonométriques est le maximum des différentes périodes.

$4$

Étape 5

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 5.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{- π}{\frac{π}{2}}$

Étape 5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

Déphasage : $- π \frac{2}{π}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $π$ à partir de $- π$ .

Déphasage : $π \cdot (- 1 \frac{2}{π})$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun.

Déphasage : $π \cdot (- 1 \frac{2}{π})$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression.

Déphasage : $- 1 \cdot 2$

Étape 5.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

Déphasage : $- 2$

Étape 6

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : Aucune

Période : $4$

Déphasage : $- 2$ ( $2$ à gauche)

Décalage vertical : $2$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Asymptotes verticales : $x = - 3 + 2 n$ où $n$ est un entier

Amplitude : Aucune

Période : $4$

Déphasage : $- 2$ ( $2$ à gauche)

Décalage vertical : $2$

Étape 8