Pré-algèbre Exemples

$y = - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{10}{3} x - \frac{25}{3}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{10}{3} x - \frac{25}{3}$

Étape 1.2

Associez $\frac{10}{3}$ et $x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{10 x}{3} - \frac{25}{3}$

Étape 2

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 2.1.1

Complétez le carré pour $- \frac{x^{2}}{3} + \frac{10 x}{3} - \frac{25}{3}$ .

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Étape 2.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{1}{3}$

$b = \frac{10}{3}$

$c = - \frac{25}{3}$

Étape 2.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{10}{3}}{2 (- \frac{1}{3})}$

Étape 2.1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.3.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{10}{3} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{3})}$

Étape 2.1.1.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.1.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$d = \frac{2 (5)}{3} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{3})}$

Étape 2.1.1.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 5}{3} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{3})}$

Étape 2.1.1.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{3}}$

Étape 2.1.1.3.2.3

Multipliez $\frac{5}{3}$ par $\frac{1}{- \frac{1}{3}}$ .

$d = \frac{5}{3 (- \frac{1}{3})}$

Étape 2.1.1.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$d = \frac{5}{- 3 (\frac{1}{3})}$

Étape 2.1.1.3.2.5

Associez $- 3$ et $\frac{1}{3}$ .

$d = \frac{5}{\frac{- 3}{3}}$

Étape 2.1.1.3.2.6

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 2.1.1.3.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$d = \frac{5}{\frac{3 \cdot - 1}{3}}$

Étape 2.1.1.3.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.3.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$d = \frac{5}{\frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}}$

Étape 2.1.1.3.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{5}{\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}}$

Étape 2.1.1.3.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{5}{\frac{- 1}{1}}$

Étape 2.1.1.3.2.6.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$d = \frac{5}{- 1}$

Étape 2.1.1.3.2.7

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 5$

Étape 2.1.1.3.2.8

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$d = - 5$

Étape 2.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{25}{3} - \frac{{(\frac{10}{3})}^{2}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Étape 2.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{10}{3}$ .

$e = - \frac{25}{3} - \frac{\frac{10^{2}}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Étape 2.1.1.4.2.1.1.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{25}{3} - \frac{\frac{100}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Étape 2.1.1.4.2.1.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{25}{3} - \frac{\frac{100}{9}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Étape 2.1.1.4.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = - \frac{25}{3} - \frac{\frac{100}{9}}{- 4 (\frac{1}{3})}$

Étape 2.1.1.4.2.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{3}$ .

$e = - \frac{25}{3} - \frac{\frac{100}{9}}{\frac{- 4}{3}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{25}{3} - \frac{\frac{100}{9}}{- \frac{4}{3}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = - \frac{25}{3} - (\frac{100}{9} (- \frac{3}{4}))$

Étape 2.1.1.4.2.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.1.1.4.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{4}$ dans le numérateur.

$e = - \frac{25}{3} - (\frac{100}{9} \cdot \frac{- 3}{4})$

Étape 2.1.1.4.2.1.5.2

Factorisez $4$ à partir de $100$ .

$e = - \frac{25}{3} - (\frac{4 (25)}{9} \cdot \frac{- 3}{4})$

Étape 2.1.1.4.2.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$e = - \frac{25}{3} - (\frac{4 \cdot 25}{9} \cdot \frac{- 3}{4})$

Étape 2.1.1.4.2.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$e = - \frac{25}{3} - (\frac{25}{9} \cdot - 3)$

Étape 2.1.1.4.2.1.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.1.1.4.2.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$e = - \frac{25}{3} - (\frac{25}{3 (3)} \cdot - 3)$

Étape 2.1.1.4.2.1.6.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$e = - \frac{25}{3} - (\frac{25}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 1))$

Étape 2.1.1.4.2.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$e = - \frac{25}{3} - (\frac{25}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 1))$

Étape 2.1.1.4.2.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$e = - \frac{25}{3} - (\frac{25}{3} \cdot - 1)$

Étape 2.1.1.4.2.1.7

Associez $\frac{25}{3}$ et $- 1$ .

$e = - \frac{25}{3} - \frac{25 \cdot - 1}{3}$

Étape 2.1.1.4.2.1.8

Multipliez $25$ par $- 1$ .

$e = - \frac{25}{3} - \frac{- 25}{3}$

Étape 2.1.1.4.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{25}{3} - - \frac{25}{3}$

Étape 2.1.1.4.2.1.10

Multipliez $- - \frac{25}{3}$ .

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Étape 2.1.1.4.2.1.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = - \frac{25}{3} + 1 (\frac{25}{3})$

Étape 2.1.1.4.2.1.10.2

Multipliez $\frac{25}{3}$ par $1$ .

$e = - \frac{25}{3} + \frac{25}{3}$

Étape 2.1.1.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 25 + 25}{3}$

Étape 2.1.1.4.2.3

Additionnez $- 25$ et $25$ .

$e = \frac{0}{3}$

Étape 2.1.1.4.2.4

Divisez $0$ par $3$ .

$e = 0$

Étape 2.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{1}{3} {(x - 5)}^{2} + 0$ .

$- \frac{1}{3} {(x - 5)}^{2} + 0$

Étape 2.1.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - \frac{1}{3} \cdot {(x - 5)}^{2} + 0$

Étape 2.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{1}{3}$

$h = 5$

$k = 0$

Étape 2.3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers le bas.

ouvre vers le bas

Étape 2.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(5, 0)$

Étape 2.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 2.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 2.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{3})}$

Étape 2.5.3

Simplifiez

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Étape 2.5.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 2.5.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{3})}$

Étape 2.5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{3})}$

Étape 2.5.3.2

Associez $4$ et $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{3}}$

Étape 2.5.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (1 (\frac{3}{4}))$

Étape 2.5.3.4

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $1$ .

$- \frac{3}{4}$

Étape 2.6

Déterminez le foyer.

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Étape 2.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 2.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(5, - \frac{3}{4})$

Étape 2.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = 5$

Étape 2.8

Déterminez la directrice.

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Étape 2.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 2.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = \frac{3}{4}$

Étape 2.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(5, 0)$

Foyer : $(5, - \frac{3}{4})$

Axe de symétrie : $x = 5$

Directrice : $y = \frac{3}{4}$

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(5, 0)$

Foyer : $(5, - \frac{3}{4})$

Axe de symétrie : $x = 5$

Directrice : $y = \frac{3}{4}$

Étape 3

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = - \frac{{(4)}^{2}}{3} + \frac{10 (4)}{3} - \frac{25}{3}$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (4) = \frac{- {(4)}^{2} + 10 (4) - 25}{3}$

Étape 3.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (4) = \frac{- 1 \cdot 16 + 10 (4) - 25}{3}$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$f (4) = \frac{- 16 + 10 (4) - 25}{3}$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $10$ par $4$ .

$f (4) = \frac{- 16 + 40 - 25}{3}$

Étape 3.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.3.1

Additionnez $- 16$ et $40$ .

$f (4) = \frac{24 - 25}{3}$

Étape 3.2.3.2

Soustrayez $25$ de $24$ .

$f (4) = \frac{- 1}{3}$

Étape 3.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (4) = - \frac{1}{3}$

Étape 3.2.4

La réponse finale est $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Étape 3.3

La valeur $y$ sur $x = 4$ est $- \frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{1}{3}$

Étape 3.4

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = - \frac{{(3)}^{2}}{3} + \frac{10 (3)}{3} - \frac{25}{3}$

Étape 3.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (3) = \frac{- {(3)}^{2} + 10 (3) - 25}{3}$

Étape 3.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (3) = \frac{- 1 \cdot 9 + 10 (3) - 25}{3}$

Étape 3.5.2.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$f (3) = \frac{- 9 + 10 (3) - 25}{3}$

Étape 3.5.2.3

Multipliez $10$ par $3$ .

$f (3) = \frac{- 9 + 30 - 25}{3}$

Étape 3.5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.3.1

Additionnez $- 9$ et $30$ .

$f (3) = \frac{21 - 25}{3}$

Étape 3.5.3.2

Soustrayez $25$ de $21$ .

$f (3) = \frac{- 4}{3}$

Étape 3.5.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (3) = - \frac{4}{3}$

Étape 3.5.4

La réponse finale est $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3}$

Étape 3.6

La valeur $y$ sur $x = 3$ est $- \frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{4}{3}$

Étape 3.7

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f (8) = - \frac{{(8)}^{2}}{3} + \frac{10 (8)}{3} - \frac{25}{3}$

Étape 3.8

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (8) = \frac{- {(8)}^{2} + 10 (8) - 25}{3}$

Étape 3.8.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.8.2.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$f (8) = \frac{- 1 \cdot 64 + 10 (8) - 25}{3}$

Étape 3.8.2.2

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$f (8) = \frac{- 64 + 10 (8) - 25}{3}$

Étape 3.8.2.3

Multipliez $10$ par $8$ .

$f (8) = \frac{- 64 + 80 - 25}{3}$

Étape 3.8.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.8.3.1

Additionnez $- 64$ et $80$ .

$f (8) = \frac{16 - 25}{3}$

Étape 3.8.3.2

Soustrayez $25$ de $16$ .

$f (8) = \frac{- 9}{3}$

Étape 3.8.3.3

Divisez $- 9$ par $3$ .

$f (8) = - 3$

Étape 3.8.4

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 3.9

La valeur $y$ sur $x = 8$ est $- 3$ .

$y = - 3$

Étape 3.10

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f (6) = - \frac{{(6)}^{2}}{3} + \frac{10 (6)}{3} - \frac{25}{3}$

Étape 3.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.11.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (6) = \frac{- {(6)}^{2} + 10 (6) - 25}{3}$

Étape 3.11.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.2.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f (6) = \frac{- 1 \cdot 36 + 10 (6) - 25}{3}$

Étape 3.11.2.2

Multipliez $- 1$ par $36$ .

$f (6) = \frac{- 36 + 10 (6) - 25}{3}$

Étape 3.11.2.3

Multipliez $10$ par $6$ .

$f (6) = \frac{- 36 + 60 - 25}{3}$

Étape 3.11.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.11.3.1

Additionnez $- 36$ et $60$ .

$f (6) = \frac{24 - 25}{3}$

Étape 3.11.3.2

Soustrayez $25$ de $24$ .

$f (6) = \frac{- 1}{3}$

Étape 3.11.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (6) = - \frac{1}{3}$

Étape 3.11.4

La réponse finale est $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Étape 3.12

La valeur $y$ sur $x = 6$ est $- \frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{1}{3}$

Étape 3.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & - \frac{4}{3} \\ 4 & - \frac{1}{3} \\ 5 & 0 \\ 6 & - \frac{1}{3} \\ 8 & - 3 \end{array}$

Étape 4

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(5, 0)$

Foyer : $(5, - \frac{3}{4})$

Axe de symétrie : $x = 5$

Directrice : $y = \frac{3}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & - \frac{4}{3} \\ 4 & - \frac{1}{3} \\ 5 & 0 \\ 6 & - \frac{1}{3} \\ 8 & - 3 \end{array}$

Étape 5