Pré-algèbre Exemples

$y = \frac{- 1}{3} \cdot {(x - 3)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez $\frac{- 1}{3} \cdot {(x - 3)}^{2}$ .

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Étape 1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{3} \cdot {(x - 3)}^{2}$

Étape 1.1.2

Réécrivez ${(x - 3)}^{2}$ comme $(x - 3) (x - 3)$ .

$y = - \frac{1}{3} \cdot ((x - 3) (x - 3))$

Étape 1.2

Développez $(x - 3) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{1}{3} \cdot (x (x - 3) - 3 (x - 3))$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{1}{3} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{1}{3} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = - \frac{1}{3} \cdot (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{1}{3} \cdot (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$y = - \frac{1}{3} \cdot (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)$

Étape 1.3.2

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$y = - \frac{1}{3} \cdot (x^{2} - 6 x + 9)$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{1}{3} x^{2} - \frac{1}{3} (- 6 x) - \frac{1}{3} \cdot 9$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{3} - \frac{1}{3} (- 6 x) - \frac{1}{3} \cdot 9$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.5.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$y = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 1}{3} (- 6 x) - \frac{1}{3} \cdot 9$

Étape 1.5.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 6 x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 1}{3} (3 (- 2 x)) - \frac{1}{3} \cdot 9$

Étape 1.5.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 1}{3} (3 (- 2 x)) - \frac{1}{3} \cdot 9$

Étape 1.5.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x^{2}}{3} - 1 (- 2 x) - \frac{1}{3} \cdot 9$

Étape 1.5.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{3} + 2 x - \frac{1}{3} \cdot 9$

Étape 1.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.5.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$y = - \frac{x^{2}}{3} + 2 x + \frac{- 1}{3} \cdot 9$

Étape 1.5.4.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$y = - \frac{x^{2}}{3} + 2 x + \frac{- 1}{3} \cdot (3 (3))$

Étape 1.5.4.3

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x^{2}}{3} + 2 x + \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 3)$

Étape 1.5.4.4

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x^{2}}{3} + 2 x - 1 \cdot 3$

Étape 1.5.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = - \frac{x^{2}}{3} + 2 x - 3$

Étape 2

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 2.1.1

Complétez le carré pour $- \frac{x^{2}}{3} + 2 x - 3$ .

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Étape 2.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{1}{3}$

$b = 2$

$c = - 3$

Étape 2.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 (- \frac{1}{3})}$

Étape 2.1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2}{2 (- \frac{1}{3})}$

Étape 2.1.1.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{1}{- \frac{1}{3}}$

Étape 2.1.1.3.2.2

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 2.1.1.3.2.2.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{3}}$

Étape 2.1.1.3.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Étape 2.1.1.3.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - (1 \cdot 3)$

Étape 2.1.1.3.2.4

Multipliez $- (1 \cdot 3)$ .

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Étape 2.1.1.3.2.4.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Étape 2.1.1.3.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$d = - 3$

Étape 2.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 3 - \frac{2^{2}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Étape 2.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.4.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = - 3 - \frac{4}{4 (- \frac{1}{3})}$

Étape 2.1.1.4.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = - 3 - \frac{4}{- 4 (\frac{1}{3})}$

Étape 2.1.1.4.2.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{3}$ .

$e = - 3 - \frac{4}{\frac{- 4}{3}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - 3 - \frac{4}{- \frac{4}{3}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = - 3 - (4 (- \frac{3}{4}))$

Étape 2.1.1.4.2.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.1.1.4.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{4}$ dans le numérateur.

$e = - 3 - (4 (\frac{- 3}{4}))$

Étape 2.1.1.4.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$e = - 3 - (4 (\frac{- 3}{4}))$

Étape 2.1.1.4.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$e = - 3 - - 3$

Étape 2.1.1.4.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$e = - 3 + 3$

Étape 2.1.1.4.2.2

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$e = 0$

Étape 2.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{1}{3} {(x - 3)}^{2} + 0$ .

$- \frac{1}{3} {(x - 3)}^{2} + 0$

Étape 2.1.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - \frac{1}{3} \cdot {(x - 3)}^{2} + 0$

Étape 2.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{1}{3}$

$h = 3$

$k = 0$

Étape 2.3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers le bas.

ouvre vers le bas

Étape 2.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(3, 0)$

Étape 2.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 2.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 2.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{3})}$

Étape 2.5.3

Simplifiez

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Étape 2.5.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 2.5.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{3})}$

Étape 2.5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{3})}$

Étape 2.5.3.2

Associez $4$ et $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{3}}$

Étape 2.5.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (1 (\frac{3}{4}))$

Étape 2.5.3.4

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $1$ .

$- \frac{3}{4}$

Étape 2.6

Déterminez le foyer.

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Étape 2.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 2.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(3, - \frac{3}{4})$

Étape 2.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = 3$

Étape 2.8

Déterminez la directrice.

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Étape 2.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 2.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = \frac{3}{4}$

Étape 2.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(3, 0)$

Foyer : $(3, - \frac{3}{4})$

Axe de symétrie : $x = 3$

Directrice : $y = \frac{3}{4}$

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(3, 0)$

Foyer : $(3, - \frac{3}{4})$

Axe de symétrie : $x = 3$

Directrice : $y = \frac{3}{4}$

Étape 3

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{3} + 2 (2) - 3$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = - \frac{4}{3} + 2 (2) - 3$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (2) = - \frac{4}{3} + 4 - 3$

Étape 3.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.2.2.1

Écrivez $4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (2) = - \frac{4}{3} + \frac{4}{1} - 3$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = - \frac{4}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3} - 3$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = - \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} - 3$

Étape 3.2.2.4

Écrivez $- 3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (2) = - \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{- 3}{1}$

Étape 3.2.2.5

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = - \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.2.2.6

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = - \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3}$

Étape 3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (2) = \frac{- 4 + 4 \cdot 3 - 3 \cdot 3}{3}$

Étape 3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$f (2) = \frac{- 4 + 12 - 3 \cdot 3}{3}$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$f (2) = \frac{- 4 + 12 - 9}{3}$

Étape 3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.5.1

Additionnez $- 4$ et $12$ .

$f (2) = \frac{8 - 9}{3}$

Étape 3.2.5.2

Soustrayez $9$ de $8$ .

$f (2) = \frac{- 1}{3}$

Étape 3.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (2) = - \frac{1}{3}$

Étape 3.2.6

La réponse finale est $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Étape 3.3

La valeur $y$ sur $x = 2$ est $- \frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{1}{3}$

Étape 3.4

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{3} + 2 (1) - 3$

Étape 3.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = - \frac{1}{3} + 2 (1) - 3$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (1) = - \frac{1}{3} + 2 - 3$

Étape 3.5.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.5.2.1

Écrivez $2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (1) = - \frac{1}{3} + \frac{2}{1} - 3$

Étape 3.5.2.2

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = - \frac{1}{3} + \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{3} - 3$

Étape 3.5.2.3

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = - \frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - 3$

Étape 3.5.2.4

Écrivez $- 3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (1) = - \frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{- 3}{1}$

Étape 3.5.2.5

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = - \frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.5.2.6

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = - \frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3}$

Étape 3.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (1) = \frac{- 1 + 2 \cdot 3 - 3 \cdot 3}{3}$

Étape 3.5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.4.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (1) = \frac{- 1 + 6 - 3 \cdot 3}{3}$

Étape 3.5.4.2

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$f (1) = \frac{- 1 + 6 - 9}{3}$

Étape 3.5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.5.1

Additionnez $- 1$ et $6$ .

$f (1) = \frac{5 - 9}{3}$

Étape 3.5.5.2

Soustrayez $9$ de $5$ .

$f (1) = \frac{- 4}{3}$

Étape 3.5.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (1) = - \frac{4}{3}$

Étape 3.5.6

La réponse finale est $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3}$

Étape 3.6

La valeur $y$ sur $x = 1$ est $- \frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{4}{3}$

Étape 3.7

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f (6) = - \frac{{(6)}^{2}}{3} + 2 (6) - 3$

Étape 3.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.8.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f (6) = - \frac{36}{3} + 2 (6) - 3$

Étape 3.8.1.2

Divisez $36$ par $3$ .

$f (6) = - 1 \cdot 12 + 2 (6) - 3$

Étape 3.8.1.3

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$f (6) = - 12 + 2 (6) - 3$

Étape 3.8.1.4

Multipliez $2$ par $6$ .

$f (6) = - 12 + 12 - 3$

Étape 3.8.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.8.2.1

Additionnez $- 12$ et $12$ .

$f (6) = 0 - 3$

Étape 3.8.2.2

Soustrayez $3$ de $0$ .

$f (6) = - 3$

Étape 3.8.3

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 3.9

La valeur $y$ sur $x = 6$ est $- 3$ .

$y = - 3$

Étape 3.10

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = - \frac{{(4)}^{2}}{3} + 2 (4) - 3$

Étape 3.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (4) = - \frac{16}{3} + 2 (4) - 3$

Étape 3.11.1.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (4) = - \frac{16}{3} + 8 - 3$

Étape 3.11.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.11.2.1

Écrivez $8$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (4) = - \frac{16}{3} + \frac{8}{1} - 3$

Étape 3.11.2.2

Multipliez $\frac{8}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = - \frac{16}{3} + \frac{8}{1} \cdot \frac{3}{3} - 3$

Étape 3.11.2.3

Multipliez $\frac{8}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = - \frac{16}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} - 3$

Étape 3.11.2.4

Écrivez $- 3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (4) = - \frac{16}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{- 3}{1}$

Étape 3.11.2.5

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = - \frac{16}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.11.2.6

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = - \frac{16}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3}$

Étape 3.11.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (4) = \frac{- 16 + 8 \cdot 3 - 3 \cdot 3}{3}$

Étape 3.11.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.4.1

Multipliez $8$ par $3$ .

$f (4) = \frac{- 16 + 24 - 3 \cdot 3}{3}$

Étape 3.11.4.2

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$f (4) = \frac{- 16 + 24 - 9}{3}$

Étape 3.11.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.11.5.1

Additionnez $- 16$ et $24$ .

$f (4) = \frac{8 - 9}{3}$

Étape 3.11.5.2

Soustrayez $9$ de $8$ .

$f (4) = \frac{- 1}{3}$

Étape 3.11.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (4) = - \frac{1}{3}$

Étape 3.11.6

La réponse finale est $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Étape 3.12

La valeur $y$ sur $x = 4$ est $- \frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{1}{3}$

Étape 3.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & - \frac{4}{3} \\ 2 & - \frac{1}{3} \\ 3 & 0 \\ 4 & - \frac{1}{3} \\ 6 & - 3 \end{array}$

Étape 4

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(3, 0)$

Foyer : $(3, - \frac{3}{4})$

Axe de symétrie : $x = 3$

Directrice : $y = \frac{3}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & - \frac{4}{3} \\ 2 & - \frac{1}{3} \\ 3 & 0 \\ 4 & - \frac{1}{3} \\ 6 & - 3 \end{array}$

Étape 5