Pré-algèbre Exemples

$\frac{11}{x + 4} - \frac{x - 6}{x - 10} = \frac{- x^{2}}{x^{2} - 6 x - 40}$

Étape 1

Simplifiez $\frac{11}{x + 4} - \frac{x - 6}{x - 10}$ .

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{11}{x + 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 10}{x - 10}$ .

$\frac{11}{x + 4} \cdot \frac{x - 10}{x - 10} - \frac{x - 6}{x - 10} = \frac{- x^{2}}{x^{2} - 6 x - 40}$

Étape 1.2

Pour écrire $- \frac{x - 6}{x - 10}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{11}{x + 4} \cdot \frac{x - 10}{x - 10} - \frac{x - 6}{x - 10} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} = \frac{- x^{2}}{x^{2} - 6 x - 40}$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 4) (x - 10)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{11}{x + 4}$ par $\frac{x - 10}{x - 10}$ .

$\frac{11 (x - 10)}{(x + 4) (x - 10)} - \frac{x - 6}{x - 10} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} = \frac{- x^{2}}{x^{2} - 6 x - 40}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{x - 6}{x - 10}$ par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{11 (x - 10)}{(x + 4) (x - 10)} - \frac{(x - 6) (x + 4)}{(x - 10) (x + 4)} = \frac{- x^{2}}{x^{2} - 6 x - 40}$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 10) (x + 4)$ .

$\frac{11 (x - 10)}{(x + 4) (x - 10)} - \frac{(x - 6) (x + 4)}{(x + 4) (x - 10)} = \frac{- x^{2}}{x^{2} - 6 x - 40}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{11 (x - 10) - (x - 6) (x + 4)}{(x + 4) (x - 10)} = \frac{- x^{2}}{x^{2} - 6 x - 40}$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{11 x + 11 \cdot - 10 - (x - 6) (x + 4)}{(x + 4) (x - 10)} = \frac{- x^{2}}{x^{2} - 6 x - 40}$

Étape 1.5.2

Multipliez $11$ par $- 10$ .

$\frac{11 x - 110 - (x - 6) (x + 4)}{(x + 4) (x - 10)} = \frac{- x^{2}}{x^{2} - 6 x - 40}$

Étape 1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{11 x - 110 + (- x - - 6) (x + 4)}{(x + 4) (x - 10)} = \frac{- x^{2}}{x^{2} - 6 x - 40}$

Étape 1.5.4

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$\frac{11 x - 110 + (- x + 6) (x + 4)}{(x + 4) (x - 10)} = \frac{- x^{2}}{x^{2} - 6 x - 40}$

Étape 1.5.5

Développez $(- x + 6) (x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{11 x - 110 - x (x + 4) + 6 (x + 4)}{(x + 4) (x - 10)} = \frac{- x^{2}}{x^{2} - 6 x - 40}$

Étape 1.5.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{11 x - 110 - x \cdot x - x \cdot 4 + 6 (x + 4)}{(x + 4) (x - 10)} = \frac{- x^{2}}{x^{2} - 6 x - 40}$

Étape 1.5.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{11 x - 110 - x \cdot x - x \cdot 4 + 6 x + 6 \cdot 4}{(x + 4) (x - 10)} = \frac{- x^{2}}{x^{2} - 6 x - 40}$

Étape 1.5.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.5.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.6.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{11 x - 110 - (x \cdot x) - x \cdot 4 + 6 x + 6 \cdot 4}{(x + 4) (x - 10)} = \frac{- x^{2}}{x^{2} - 6 x - 40}$

Étape 1.5.6.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{11 x - 110 - x^{2} - x \cdot 4 + 6 x + 6 \cdot 4}{(x + 4) (x - 10)} = \frac{- x^{2}}{x^{2} - 6 x - 40}$

Étape 1.5.6.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{11 x - 110 - x^{2} - 4 x + 6 x + 6 \cdot 4}{(x + 4) (x - 10)} = \frac{- x^{2}}{x^{2} - 6 x - 40}$

Étape 1.5.6.1.3

Multipliez $6$ par $4$ .

$\frac{11 x - 110 - x^{2} - 4 x + 6 x + 24}{(x + 4) (x - 10)} = \frac{- x^{2}}{x^{2} - 6 x - 40}$

Étape 1.5.6.2

Additionnez $- 4 x$ et $6 x$ .

$\frac{11 x - 110 - x^{2} + 2 x + 24}{(x + 4) (x - 10)} = \frac{- x^{2}}{x^{2} - 6 x - 40}$

Étape 1.5.7

Additionnez $11 x$ et $2 x$ .

$\frac{13 x - 110 - x^{2} + 24}{(x + 4) (x - 10)} = \frac{- x^{2}}{x^{2} - 6 x - 40}$

Étape 1.5.8

Additionnez $- 110$ et $24$ .

$\frac{13 x - x^{2} - 86}{(x + 4) (x - 10)} = \frac{- x^{2}}{x^{2} - 6 x - 40}$

Étape 1.5.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} + 13 x - 86}{(x + 4) (x - 10)} = \frac{- x^{2}}{x^{2} - 6 x - 40}$

Étape 1.6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 13 x - 86}{(x + 4) (x - 10)} = \frac{- x^{2}}{x^{2} - 6 x - 40}$

Étape 1.6.2

Factorisez $- 1$ à partir de $13 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- 13 x) - 86}{(x + 4) (x - 10)} = \frac{- x^{2}}{x^{2} - 6 x - 40}$

Étape 1.6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 13 x)$ .

$\frac{- (x^{2} - 13 x) - 86}{(x + 4) (x - 10)} = \frac{- x^{2}}{x^{2} - 6 x - 40}$

Étape 1.6.4

Réécrivez $- 86$ comme $- 1 (86)$ .

$\frac{- (x^{2} - 13 x) - 1 (86)}{(x + 4) (x - 10)} = \frac{- x^{2}}{x^{2} - 6 x - 40}$

Étape 1.6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 13 x) - 1 (86)$ .

$\frac{- (x^{2} - 13 x + 86)}{(x + 4) (x - 10)} = \frac{- x^{2}}{x^{2} - 6 x - 40}$

Étape 1.6.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.6.6.1

Réécrivez $- (x^{2} - 13 x + 86)$ comme $- 1 (x^{2} - 13 x + 86)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 13 x + 86)}{(x + 4) (x - 10)} = \frac{- x^{2}}{x^{2} - 6 x - 40}$

Étape 1.6.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} - 13 x + 86}{(x + 4) (x - 10)} = \frac{- x^{2}}{x^{2} - 6 x - 40}$

Étape 2

Simplifiez $\frac{- x^{2}}{x^{2} - 6 x - 40}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2} - 6 x - 40$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 40$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 10, 4$

Étape 2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- \frac{x^{2} - 13 x + 86}{(x + 4) (x - 10)} = \frac{- x^{2}}{(x - 10) (x + 4)}$

Étape 2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} - 13 x + 86}{(x + 4) (x - 10)} = - \frac{x^{2}}{(x - 10) (x + 4)}$

Étape 3

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx 6.61538461$

Étape 4