Pré-algèbre Exemples

$\frac{4}{p^{2} + 7 p - 18} = \frac{6}{p + 9} - \frac{4}{p - 2}$

Étape 1

Factorisez $p^{2} + 7 p - 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 18$ et dont la somme est $7$ .

$- 2, 9$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{6}{p + 9} - \frac{4}{p - 2}$

Étape 2

Simplifiez $\frac{6}{p + 9} - \frac{4}{p - 2}$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{6}{p + 9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{p - 2}{p - 2}$ .

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{6}{p + 9} \cdot \frac{p - 2}{p - 2} - \frac{4}{p - 2}$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{4}{p - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{p + 9}{p + 9}$ .

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{6}{p + 9} \cdot \frac{p - 2}{p - 2} - \frac{4}{p - 2} \cdot \frac{p + 9}{p + 9}$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(p + 9) (p - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{6}{p + 9}$ par $\frac{p - 2}{p - 2}$ .

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{6 (p - 2)}{(p + 9) (p - 2)} - \frac{4}{p - 2} \cdot \frac{p + 9}{p + 9}$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{4}{p - 2}$ par $\frac{p + 9}{p + 9}$ .

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{6 (p - 2)}{(p + 9) (p - 2)} - \frac{4 (p + 9)}{(p - 2) (p + 9)}$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(p - 2) (p + 9)$ .

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{6 (p - 2)}{(p + 9) (p - 2)} - \frac{4 (p + 9)}{(p + 9) (p - 2)}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{6 (p - 2) - 4 (p + 9)}{(p + 9) (p - 2)}$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $6 (p - 2) - 4 (p + 9)$ .

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Étape 2.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 (p - 2)$ .

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{2 (3 (p - 2)) - 4 (p + 9)}{(p + 9) (p - 2)}$

Étape 2.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 (p + 9)$ .

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{2 (3 (p - 2)) + 2 (- 2 (p + 9))}{(p + 9) (p - 2)}$

Étape 2.5.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 (p - 2)) + 2 (- 2 (p + 9))$ .

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{2 (3 (p - 2) - 2 (p + 9))}{(p + 9) (p - 2)}$

Étape 2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{2 (3 p + 3 \cdot - 2 - 2 (p + 9))}{(p + 9) (p - 2)}$

Étape 2.5.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{2 (3 p - 6 - 2 (p + 9))}{(p + 9) (p - 2)}$

Étape 2.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{2 (3 p - 6 - 2 p - 2 \cdot 9)}{(p + 9) (p - 2)}$

Étape 2.5.5

Multipliez $- 2$ par $9$ .

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{2 (3 p - 6 - 2 p - 18)}{(p + 9) (p - 2)}$

Étape 2.5.6

Soustrayez $2 p$ de $3 p$ .

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{2 (p - 6 - 18)}{(p + 9) (p - 2)}$

Étape 2.5.7

Soustrayez $18$ de $- 6$ .

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{2 (p - 24)}{(p + 9) (p - 2)}$

Étape 3

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$p \approx 26$

Étape 4