Pré-algèbre Exemples

$\frac{30 - 17 r}{r^{2} - 36} - \frac{r}{6 - r} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1

Simplifiez $\frac{30 - 17 r}{r^{2} - 36} - \frac{r}{6 - r}$ .

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Étape 1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{30 - 17 r}{r^{2} - 6^{2}} - \frac{r}{6 - r} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = r$ et $b = 6$ .

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} - \frac{r}{6 - r} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $6$ comme $- 1 (- 6)$ .

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} - \frac{r}{- 1 (- 6) - r} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- r$ .

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} - \frac{r}{- 1 (- 6) - (r)} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 6) - (r)$ .

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} - \frac{r}{- 1 (- 6 + r)} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} - \frac{r}{- 1 (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.3

Pour écrire $\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{r}{- 1 (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.4

Pour écrire $- \frac{r}{- 1 (r - 6)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{r + 6}{r + 6}$ .

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{r}{- 1 (r - 6)} \cdot \frac{r + 6}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(r + 6) (r - 6) \cdot - 1$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.5.1

Multipliez $\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)}$ par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(30 - 17 r) \cdot - 1}{(r + 6) (r - 6) \cdot - 1} - \frac{r}{- 1 (r - 6)} \cdot \frac{r + 6}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.5.2

Multipliez $\frac{r}{- 1 (r - 6)}$ par $\frac{r + 6}{r + 6}$ .

$\frac{(30 - 17 r) \cdot - 1}{(r + 6) (r - 6) \cdot - 1} - \frac{r (r + 6)}{- 1 (r - 6) (r + 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.5.3

Réorganisez les facteurs de $(r + 6) (r - 6) \cdot - 1$ .

$\frac{(30 - 17 r) \cdot - 1}{- (r + 6) (r - 6)} - \frac{r (r + 6)}{- 1 (r - 6) (r + 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.5.4

Réorganisez les facteurs de $- 1 (r - 6) (r + 6)$ .

$\frac{(30 - 17 r) \cdot - 1}{- (r + 6) (r - 6)} - \frac{r (r + 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(30 - 17 r) \cdot - 1 - r (r + 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{30 \cdot - 1 - 17 r \cdot - 1 - r (r + 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.7.2

Multipliez $30$ par $- 1$ .

$\frac{- 30 - 17 r \cdot - 1 - r (r + 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.7.3

Multipliez $- 1$ par $- 17$ .

$\frac{- 30 + 17 r - r (r + 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.7.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 30 + 17 r - r \cdot r - r \cdot 6}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.7.5

Multipliez $r$ par $r$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.5.1

Déplacez $r$ .

$\frac{- 30 + 17 r - (r \cdot r) - r \cdot 6}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.7.5.2

Multipliez $r$ par $r$ .

$\frac{- 30 + 17 r - r^{2} - r \cdot 6}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.7.6

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{- 30 + 17 r - r^{2} - 6 r}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.7.7

Soustrayez $6 r$ de $17 r$ .

$\frac{- 30 - r^{2} + 11 r}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.7.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- r^{2} + 11 r - 30}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.7.9

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.7.9.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 30 = 30$ et dont la somme est $b = 11$ .

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Étape 1.7.9.1.1

Factorisez $11$ à partir de $11 r$ .

$\frac{- r^{2} + 11 (r) - 30}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.7.9.1.2

Réécrivez $11$ comme $5$ plus $6$

$\frac{- r^{2} + (5 + 6) r - 30}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.7.9.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- r^{2} + 5 r + 6 r - 30}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.7.9.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.7.9.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- r^{2} + 5 r) + 6 r - 30}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.7.9.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{r (- r + 5) - 6 (- r + 5)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.7.9.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- r + 5$ .

$\frac{(- r + 5) (r - 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.8

Simplifiez les termes.

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Étape 1.8.1

Annulez le facteur commun de $r - 6$ .

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Étape 1.8.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(- r + 5) (r - 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.8.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- r + 5}{- (r + 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{- r + 5}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.8.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- r$ .

$- \frac{- (r) + 5}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.8.4

Réécrivez $5$ comme $- 1 (- 5)$ .

$- \frac{- (r) - 1 (- 5)}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.8.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (r) - 1 (- 5)$ .

$- \frac{- (r - 5)}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.8.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.8.6.1

Réécrivez $- (r - 5)$ comme $- 1 (r - 5)$ .

$- \frac{- 1 (r - 5)}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.8.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{r - 5}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.8.6.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{r - 5}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 1.8.6.4

Multipliez $\frac{r - 5}{r + 6}$ par $1$ .

$\frac{r - 5}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Étape 2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$r \approx 16$

Étape 3