Pré-algèbre Exemples

$\frac{z^{2}}{4} = \frac{z}{5} + \frac{9}{20}$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $4$ .

$\frac{z^{2}}{4} \cdot 4 = (\frac{z}{5} + \frac{9}{20}) \cdot 4$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{z^{2}}{4} \cdot 4 = (\frac{z}{5} + \frac{9}{20}) \cdot 4$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$z^{2} = (\frac{z}{5} + \frac{9}{20}) \cdot 4$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $(\frac{z}{5} + \frac{9}{20}) \cdot 4$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez les termes.

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$z^{2} = \frac{z}{5} \cdot 4 + \frac{9}{20} \cdot 4$

Étape 2.2.1.1.2

Associez $\frac{z}{5}$ et $4$ .

$z^{2} = \frac{z \cdot 4}{5} + \frac{9}{20} \cdot 4$

Étape 2.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$z^{2} = \frac{z \cdot 4}{5} + \frac{9}{4 (5)} \cdot 4$

Étape 2.2.1.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$z^{2} = \frac{z \cdot 4}{5} + \frac{9}{4 \cdot 5} \cdot 4$

Étape 2.2.1.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$z^{2} = \frac{z \cdot 4}{5} + \frac{9}{5}$

Étape 2.2.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $z$ .

$z^{2} = \frac{4 z}{5} + \frac{9}{5}$

Étape 3

Résolvez $z$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $\frac{4 z}{5}$ des deux côtés de l’équation.

$z^{2} - \frac{4 z}{5} = \frac{9}{5}$

Étape 3.2

Soustrayez $\frac{9}{5}$ des deux côtés de l’équation.

$z^{2} - \frac{4 z}{5} - \frac{9}{5} = 0$

Étape 3.3

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $5$ , puis simplifiez.

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 z^{2} + 5 (- \frac{4 z}{5}) + 5 (- \frac{9}{5}) = 0$

Étape 3.3.2

Simplifiez

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 z}{5}$ dans le numérateur.

$5 z^{2} + 5 (\frac{- 4 z}{5}) + 5 (- \frac{9}{5}) = 0$

Étape 3.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$5 z^{2} + 5 (\frac{- 4 z}{5}) + 5 (- \frac{9}{5}) = 0$

Étape 3.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$5 z^{2} - 4 z + 5 (- \frac{9}{5}) = 0$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{9}{5}$ dans le numérateur.

$5 z^{2} - 4 z + 5 (\frac{- 9}{5}) = 0$

Étape 3.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 z^{2} - 4 z + 5 (\frac{- 9}{5}) = 0$

Étape 3.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 z^{2} - 4 z - 9 = 0$

Étape 3.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs $a = 5$ , $b = - 4$ et $c = - 9$ dans la formule quadratique et résolvez pour $z$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot - 9)}}{2 \cdot 5}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 5 \cdot - 9$ .

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Étape 3.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Étape 3.6.1.2.2

Multipliez $- 20$ par $- 9$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2 \cdot 5}$

Étape 3.6.1.3

Additionnez $16$ et $180$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 5}$

Étape 3.6.1.4

Réécrivez $196$ comme $14^{2}$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{14^{2}}}{2 \cdot 5}$

Étape 3.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$z = \frac{4 \pm 14}{2 \cdot 5}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$z = \frac{4 \pm 14}{10}$

Étape 3.6.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 14}{10}$ .

$z = \frac{2 \pm 7}{5}$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Étape 3.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 5 \cdot - 9$ .

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Étape 3.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Étape 3.7.1.2.2

Multipliez $- 20$ par $- 9$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2 \cdot 5}$

Étape 3.7.1.3

Additionnez $16$ et $180$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 5}$

Étape 3.7.1.4

Réécrivez $196$ comme $14^{2}$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{14^{2}}}{2 \cdot 5}$

Étape 3.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$z = \frac{4 \pm 14}{2 \cdot 5}$

Étape 3.7.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$z = \frac{4 \pm 14}{10}$

Étape 3.7.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 14}{10}$ .

$z = \frac{2 \pm 7}{5}$

Étape 3.7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$z = \frac{2 + 7}{5}$

Étape 3.7.5

Additionnez $2$ et $7$ .

$z = \frac{9}{5}$

Étape 3.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Étape 3.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 5 \cdot - 9$ .

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Étape 3.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Étape 3.8.1.2.2

Multipliez $- 20$ par $- 9$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2 \cdot 5}$

Étape 3.8.1.3

Additionnez $16$ et $180$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 5}$

Étape 3.8.1.4

Réécrivez $196$ comme $14^{2}$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{14^{2}}}{2 \cdot 5}$

Étape 3.8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$z = \frac{4 \pm 14}{2 \cdot 5}$

Étape 3.8.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$z = \frac{4 \pm 14}{10}$

Étape 3.8.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 14}{10}$ .

$z = \frac{2 \pm 7}{5}$

Étape 3.8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$z = \frac{2 - 7}{5}$

Étape 3.8.5

Soustrayez $7$ de $2$ .

$z = \frac{- 5}{5}$

Étape 3.8.6

Divisez $- 5$ par $5$ .

$z = - 1$

Étape 3.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$z = \frac{9}{5}, - 1$