Pré-algèbre Exemples

$\frac{5}{3^{x}} = \frac{27}{125}$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $3^{x}$ .

$\frac{5}{3^{x}} \cdot 3^{x} = \frac{27}{125} \cdot 3^{x}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de $3^{x}$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{3^{x}} \cdot 3^{x} = \frac{27}{125} \cdot 3^{x}$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$5 = \frac{27}{125} \cdot 3^{x}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Multipliez $\frac{27}{125} \cdot 3^{x}$ .

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Étape 2.2.1.1

Associez $\frac{27}{125}$ et $3^{x}$ .

$5 = \frac{27 \cdot 3^{x}}{125}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$5 = \frac{3^{3} \cdot 3^{x}}{125}$

Étape 2.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 = \frac{3^{3 + x}}{125}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{3^{3 + x}}{125} = 5$ .

$\frac{3^{3 + x}}{125} = 5$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $125$ .

$125 \frac{3^{3 + x}}{125} = 125 \cdot 5$

Étape 3.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $125$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$125 \frac{3^{3 + x}}{125} = 125 \cdot 5$

Étape 3.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$3^{3 + x} = 125 \cdot 5$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $125$ par $5$ .

$3^{3 + x} = 625$

Étape 3.4

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (3^{3 + x}) = \ln (625)$

Étape 3.5

Développez $\ln (3^{3 + x})$ en déplaçant $3 + x$ hors du logarithme.

$(3 + x) \ln (3) = \ln (625)$

Étape 3.6

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 \ln (3) + x \ln (3) = \ln (625)$

Étape 3.7

Remettez dans l’ordre $3 \ln (3)$ et $x \ln (3)$ .

$x \ln (3) + 3 \ln (3) = \ln (625)$

Étape 3.8

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$x \ln (3) + 3 \ln (3) - \ln (625) = 0$

Étape 3.9

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.9.1

Soustrayez $3 \ln (3)$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (3) - \ln (625) = - 3 \ln (3)$

Étape 3.9.2

Ajoutez $\ln (625)$ aux deux côtés de l’équation.

$x \ln (3) = - 3 \ln (3) + \ln (625)$

Étape 3.10

Divisez chaque terme dans $x \ln (3) = - 3 \ln (3) + \ln (625)$ par $\ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 3.10.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (3) = - 3 \ln (3) + \ln (625)$ par $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- 3 \ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (625)}{\ln (3)}$

Étape 3.10.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.10.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 3.10.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- 3 \ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (625)}{\ln (3)}$

Étape 3.10.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (625)}{\ln (3)}$

Étape 3.10.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.10.3.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 3.10.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- 3 \ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (625)}{\ln (3)}$

Étape 3.10.3.1.2

Divisez $- 3$ par $1$ .

$x = - 3 + \frac{\ln (625)}{\ln (3)}$