Pré-algèbre Exemples

${(y + 4)}^{2} = 2 y^{2} + 16 + 28$

Étape 1

Additionnez $16$ et $28$ .

${(y + 4)}^{2} = 2 y^{2} + 44$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $2 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

${(y + 4)}^{2} - 2 y^{2} = 44$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Réécrivez ${(y + 4)}^{2}$ comme $(y + 4) (y + 4)$ .

$(y + 4) (y + 4) - 2 y^{2} = 44$

Étape 2.2.2

Développez $(y + 4) (y + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y (y + 4) + 4 (y + 4) - 2 y^{2} = 44$

Étape 2.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y \cdot y + y \cdot 4 + 4 (y + 4) - 2 y^{2} = 44$

Étape 2.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y \cdot y + y \cdot 4 + 4 y + 4 \cdot 4 - 2 y^{2} = 44$

Étape 2.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$y^{2} + y \cdot 4 + 4 y + 4 \cdot 4 - 2 y^{2} = 44$

Étape 2.2.3.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

$y^{2} + 4 \cdot y + 4 y + 4 \cdot 4 - 2 y^{2} = 44$

Étape 2.2.3.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$y^{2} + 4 y + 4 y + 16 - 2 y^{2} = 44$

Étape 2.2.3.2

Additionnez $4 y$ et $4 y$ .

$y^{2} + 8 y + 16 - 2 y^{2} = 44$

Étape 2.3

Soustrayez $2 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$- y^{2} + 8 y + 16 = 44$

Étape 3

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 3.1

Soustrayez $44$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{2} + 8 y + 16 - 44 = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $44$ de $16$ .

$- y^{2} + 8 y - 28 = 0$

Étape 4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = 8$ et $c = - 28$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 28)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 1 \cdot - 28}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot - 28$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 \cdot - 28}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 28$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 112}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $112$ de $64$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$y = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 8 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$y = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{3}}{- 2}$ .

$y = 4 \pm 2 i \sqrt{3}$

Étape 7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 1 \cdot - 28}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot - 28$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 \cdot - 28}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 28$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 112}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.3

Soustrayez $112$ de $64$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 7.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$y = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 8 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$y = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{3}}{- 2}$ .

$y = 4 \pm 2 i \sqrt{3}$

Étape 7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = 4 + 2 i \sqrt{3}$

Étape 8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 1 \cdot - 28}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot - 28$ .

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Étape 8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 \cdot - 28}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 28$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 112}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.1.3

Soustrayez $112$ de $64$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 8.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$y = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 8 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$y = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 8.3

Simplifiez $\frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{3}}{- 2}$ .

$y = 4 \pm 2 i \sqrt{3}$

Étape 8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = 4 - 2 i \sqrt{3}$

Étape 9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 4 + 2 i \sqrt{3}, 4 - 2 i \sqrt{3}$