Pré-algèbre Exemples

$M (x) = 32 x^{3} - 24 x^{2} + 20 x - 5$

Étape 1

Vérifiez le coefficient directeur de la fonction. Ce nombre est le coefficient de l’expression avec le plus haut degré.

Plus grand degré : $3$

Coefficient directeur : $32$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $32$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun.

$M (x) = \frac{32 x^{3}}{32} + \frac{- 24 x^{2}}{32} + \frac{20 x}{32} + \frac{- 5}{32}$

Étape 2.1.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$M (x) = x^{3} + \frac{- 24 x^{2}}{32} + \frac{20 x}{32} + \frac{- 5}{32}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun à $- 24$ et $32$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Factorisez $8$ à partir de $- 24 x^{2}$ .

$M (x) = x^{3} + \frac{8 (- 3 x^{2})}{32} + \frac{20 x}{32} + \frac{- 5}{32}$

Étape 2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Factorisez $8$ à partir de $32$ .

$M (x) = x^{3} + \frac{8 (- 3 x^{2})}{8 (4)} + \frac{20 x}{32} + \frac{- 5}{32}$

Étape 2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$M (x) = x^{3} + \frac{8 (- 3 x^{2})}{8 \cdot 4} + \frac{20 x}{32} + \frac{- 5}{32}$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$M (x) = x^{3} + \frac{- 3 x^{2}}{4} + \frac{20 x}{32} + \frac{- 5}{32}$

Étape 2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$M (x) = x^{3} - \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{20 x}{32} + \frac{- 5}{32}$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun à $20$ et $32$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20 x$ .

$M (x) = x^{3} - \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{4 (5 x)}{32} + \frac{- 5}{32}$

Étape 2.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $32$ .

$M (x) = x^{3} - \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{4 (5 x)}{4 (8)} + \frac{- 5}{32}$

Étape 2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$M (x) = x^{3} - \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{4 (5 x)}{4 \cdot 8} + \frac{- 5}{32}$

Étape 2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$M (x) = x^{3} - \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{5 x}{8} + \frac{- 5}{32}$

Étape 2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$M (x) = x^{3} - \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{5 x}{8} - \frac{5}{32}$

Étape 3

Créez une liste des coefficients de la fonction à l’exception du coefficient directeur de $1$ .

$- \frac{3}{4}, \frac{5}{8}, - \frac{5}{32}$

Étape 4

Il va y avoir deux options de bornes, $b_{1}$ et $b_{2}$ , dont la plus petite est la réponse. Pour calculer la première option de borne, déterminez la valeur absolue du plus grand coefficient parmi la liste des coefficients. Ajoutez ensuite $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Classez les termes par ordre croissant.

$b_{1} = | - \frac{5}{32} |, | \frac{5}{8} |, | - \frac{3}{4} |$

Étape 4.2

La valeur maximale est la plus grande valeur dans l’ensemble de données ordonné.

$b_{1} = | - \frac{3}{4} |$

Étape 4.3

$- \frac{3}{4}$ est d’environ $- 0.75$ qui est négatif, alors inversez $- \frac{3}{4}$ et retirez la valeur absolue

$b_{1} = \frac{3}{4} + 1$

Étape 4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$b_{1} = \frac{3}{4} + \frac{4}{4}$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$b_{1} = \frac{3 + 4}{4}$

Étape 4.6

Additionnez $3$ et $4$ .

$b_{1} = \frac{7}{4}$

Étape 5

Pour calculer la deuxième option de borne, additionnez les valeurs absolues des coefficients depuis la liste des coefficients. Si la somme est supérieure à $1$ , utilisez ce nombre. Si ce n’est pas le cas, utilisez $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

$- \frac{3}{4}$ est d’environ $- 0.75$ qui est négatif, alors inversez $- \frac{3}{4}$ et retirez la valeur absolue

$b_{2} = \frac{3}{4} + | \frac{5}{8} | + | - \frac{5}{32} |$

Étape 5.1.2

$\frac{5}{8}$ est d’environ $0.625$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$b_{2} = \frac{3}{4} + \frac{5}{8} + | - \frac{5}{32} |$

Étape 5.1.3

$- \frac{5}{32}$ est d’environ $- 0.15625$ qui est négatif, alors inversez $- \frac{5}{32}$ et retirez la valeur absolue

$b_{2} = \frac{3}{4} + \frac{5}{8} + \frac{5}{32}$

Étape 5.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{8}{8}$ .

$b_{2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{8} + \frac{5}{8} + \frac{5}{32}$

Étape 5.2.2

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{8}{8}$ .

$b_{2} = \frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 8} + \frac{5}{8} + \frac{5}{32}$

Étape 5.2.3

Multipliez $\frac{5}{8}$ par $\frac{4}{4}$ .

$b_{2} = \frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 8} + \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{4} + \frac{5}{32}$

Étape 5.2.4

Multipliez $\frac{5}{8}$ par $\frac{4}{4}$ .

$b_{2} = \frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 8} + \frac{5 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{5}{32}$

Étape 5.2.5

Multipliez $4$ par $8$ .

$b_{2} = \frac{3 \cdot 8}{32} + \frac{5 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{5}{32}$

Étape 5.2.6

Réorganisez les facteurs de $8 \cdot 4$ .

$b_{2} = \frac{3 \cdot 8}{32} + \frac{5 \cdot 4}{4 \cdot 8} + \frac{5}{32}$

Étape 5.2.7

Multipliez $4$ par $8$ .

$b_{2} = \frac{3 \cdot 8}{32} + \frac{5 \cdot 4}{32} + \frac{5}{32}$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$b_{2} = \frac{3 \cdot 8 + 5 \cdot 4 + 5}{32}$

Étape 5.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Multipliez $3$ par $8$ .

$b_{2} = \frac{24 + 5 \cdot 4 + 5}{32}$

Étape 5.4.2

Multipliez $5$ par $4$ .

$b_{2} = \frac{24 + 20 + 5}{32}$

Étape 5.5

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Additionnez $24$ et $20$ .

$b_{2} = \frac{44 + 5}{32}$

Étape 5.5.2

Additionnez $44$ et $5$ .

$b_{2} = \frac{49}{32}$

Étape 5.6

Classez les termes par ordre croissant.

$b_{2} = 1, \frac{49}{32}$

Étape 5.7

La valeur maximale est la plus grande valeur dans l’ensemble de données ordonné.

$b_{2} = \frac{49}{32}$

Étape 6

Prenez l’option de la plus petite borne entre $b_{1} = \frac{7}{4}$ et $b_{2} = \frac{49}{32}$ .

Plus petite borne : $\frac{49}{32}$

Étape 7

Toutes les racines réelles sur $M (x) = 32 x^{3} - 24 x^{2} + 20 x - 5$ sont comprises entre $- \frac{49}{32}$ et $\frac{49}{32}$ .

$- \frac{49}{32}$ et $\frac{49}{32}$