Pré-algèbre Exemples

$2 (x^{2} + 6 x) + 4 (y^{2} - 4 y) = 20$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 2 (6 x) + 4 (y^{2} - 4 y) = 20$

Étape 1.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$2 x^{2} + 12 x + 4 (y^{2} - 4 y) = 20$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 12 x + 4 y^{2} + 4 (- 4 y) = 20$

Étape 1.4

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$2 x^{2} + 12 x + 4 y^{2} - 16 y = 20$

Étape 2

Soustrayez $20$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} + 12 x + 4 y^{2} - 16 y - 20 = 0$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = - 16$ et $c = 2 x^{2} + 12 x - 20$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (2 x^{2} + 12 x - 20))}}{2 \cdot 4}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 16$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 4 \cdot (2 x^{2} + 12 x - 20)}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 \cdot (2 x^{2} + 12 x - 20)}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 (2 x^{2}) - 16 (12 x) - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Multipliez $2$ par $- 16$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 16 (12 x) - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.4.2

Multipliez $12$ par $- 16$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 192 x - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.4.3

Multipliez $- 16$ par $- 20$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 192 x + 320}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.5

Additionnez $256$ et $320$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 32 x^{2} - 192 x + 576}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.6

Factorisez $32$ à partir de $- 32 x^{2} - 192 x + 576$ .

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Étape 5.1.6.1

Factorisez $32$ à partir de $- 32 x^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) - 192 x + 576}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.6.2

Factorisez $32$ à partir de $- 192 x$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x) + 576}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.6.3

Factorisez $32$ à partir de $576$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x) + 32 (18)}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.6.4

Factorisez $32$ à partir de $32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2} - 6 x) + 32 (18)}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.6.5

Factorisez $32$ à partir de $32 (- x^{2} - 6 x) + 32 (18)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.7

Réécrivez $32 (- x^{2} - 6 x + 18)$ comme ${(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))$ .

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Étape 5.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2) (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.7.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.7.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{16 \pm 2^{2} \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.9

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{8}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{8}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $- 16$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 4 \cdot (2 x^{2} + 12 x - 20)}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 \cdot (2 x^{2} + 12 x - 20)}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 (2 x^{2}) - 16 (12 x) - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.4

Simplifiez

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Étape 6.1.4.1

Multipliez $2$ par $- 16$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 16 (12 x) - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.4.2

Multipliez $12$ par $- 16$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 192 x - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.4.3

Multipliez $- 16$ par $- 20$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 192 x + 320}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.5

Additionnez $256$ et $320$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 32 x^{2} - 192 x + 576}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.6

Factorisez $32$ à partir de $- 32 x^{2} - 192 x + 576$ .

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Étape 6.1.6.1

Factorisez $32$ à partir de $- 32 x^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) - 192 x + 576}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.6.2

Factorisez $32$ à partir de $- 192 x$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x) + 576}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.6.3

Factorisez $32$ à partir de $576$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x) + 32 (18)}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.6.4

Factorisez $32$ à partir de $32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2} - 6 x) + 32 (18)}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.6.5

Factorisez $32$ à partir de $32 (- x^{2} - 6 x) + 32 (18)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.7

Réécrivez $32 (- x^{2} - 6 x + 18)$ comme ${(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))$ .

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Étape 6.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2) (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.7.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.7.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{16 \pm 2^{2} \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.9

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{8}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{8}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}$

Étape 6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}$

Étape 7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $- 16$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 4 \cdot (2 x^{2} + 12 x - 20)}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 \cdot (2 x^{2} + 12 x - 20)}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 (2 x^{2}) - 16 (12 x) - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.4

Simplifiez

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Étape 7.1.4.1

Multipliez $2$ par $- 16$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 16 (12 x) - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.4.2

Multipliez $12$ par $- 16$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 192 x - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.4.3

Multipliez $- 16$ par $- 20$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 192 x + 320}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.5

Additionnez $256$ et $320$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 32 x^{2} - 192 x + 576}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.6

Factorisez $32$ à partir de $- 32 x^{2} - 192 x + 576$ .

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Étape 7.1.6.1

Factorisez $32$ à partir de $- 32 x^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) - 192 x + 576}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.6.2

Factorisez $32$ à partir de $- 192 x$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x) + 576}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.6.3

Factorisez $32$ à partir de $576$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x) + 32 (18)}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.6.4

Factorisez $32$ à partir de $32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2} - 6 x) + 32 (18)}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.6.5

Factorisez $32$ à partir de $32 (- x^{2} - 6 x) + 32 (18)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.7

Réécrivez $32 (- x^{2} - 6 x + 18)$ comme ${(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))$ .

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Étape 7.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2) (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.7.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.7.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{16 \pm 2^{2} \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.9

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{8}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{8}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}$

Étape 7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}$

Étape 8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}$

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}$

Étape 9

L’équation donnée $y = \frac{4 + \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}, \frac{4 - \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}$ ne peut pas être écrite comme $y = k x^{2}$ , si bien que $y$ ne varie pas directement avec $x^{2}$ .

$y$ ne varie pas directement avec $x$