Pré-algèbre Exemples

$\frac{1}{x + 3} + \frac{3}{y + 7} = \frac{5}{y^{2} + 9 y + 14}$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $\frac{1}{x + 3}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{3}{y + 7} = \frac{5}{y^{2} + 9 y + 14} - \frac{1}{x + 3}$

Étape 1.2

Factorisez $y^{2} + 9 y + 14$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $14$ et dont la somme est $9$ .

$2, 7$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3}{y + 7} = \frac{5}{(y + 2) (y + 7)} - \frac{1}{x + 3}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y + 7, (y + 2) (y + 7), x + 3$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.4

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 2.5

Le facteur pour $y + 7$ est $y + 7$ lui-même.

$(y + 7) = y + 7$

$(y + 7)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.6

Le facteur pour $y + 2$ est $y + 2$ lui-même.

$(y + 2) = y + 2$

$(y + 2)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.7

Le facteur pour $y + 7$ est $y + 7$ lui-même.

$(y + 7) = y + 7$

$(y + 7)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.8

Le facteur pour $x + 3$ est $x + 3$ lui-même.

$(x + 3) = x + 3$

$(x + 3)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.9

Le plus petit multiple commun de $y + 7, y + 2, y + 7, x + 3$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(y + 7) (y + 2) (x + 3)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{3}{y + 7} = \frac{5}{(y + 2) (y + 7)} - \frac{1}{x + 3}$ par $(y + 7) (y + 2) (x + 3)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{3}{y + 7} = \frac{5}{(y + 2) (y + 7)} - \frac{1}{x + 3}$ par $(y + 7) (y + 2) (x + 3)$ .

$\frac{3}{y + 7} ((y + 7) (y + 2) (x + 3)) = \frac{5}{(y + 2) (y + 7)} ((y + 7) (y + 2) (x + 3)) - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $y + 7$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $y + 7$ à partir de $(y + 7) (y + 2) (x + 3)$ .

$\frac{3}{y + 7} ((y + 7) ((y + 2) (x + 3))) = \frac{5}{(y + 2) (y + 7)} ((y + 7) (y + 2) (x + 3)) - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{y + 7} ((y + 7) ((y + 2) (x + 3))) = \frac{5}{(y + 2) (y + 7)} ((y + 7) (y + 2) (x + 3)) - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Étape 3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$3 ((y + 2) (x + 3)) = \frac{5}{(y + 2) (y + 7)} ((y + 7) (y + 2) (x + 3)) - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Étape 3.2.2

Développez $(y + 2) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (y (x + 3) + 2 (x + 3)) = \frac{5}{(y + 2) (y + 7)} ((y + 7) (y + 2) (x + 3)) - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Étape 3.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 (y x + y \cdot 3 + 2 (x + 3)) = \frac{5}{(y + 2) (y + 7)} ((y + 7) (y + 2) (x + 3)) - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Étape 3.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 (y x + y \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3) = \frac{5}{(y + 2) (y + 7)} ((y + 7) (y + 2) (x + 3)) - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Étape 3.2.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$3 (y x + 3 \cdot y + 2 x + 2 \cdot 3) = \frac{5}{(y + 2) (y + 7)} ((y + 7) (y + 2) (x + 3)) - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Étape 3.2.3.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$3 (y x + 3 y + 2 x + 6) = \frac{5}{(y + 2) (y + 7)} ((y + 7) (y + 2) (x + 3)) - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Étape 3.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 (y x) + 3 (3 y) + 3 (2 x) + 3 \cdot 6 = \frac{5}{(y + 2) (y + 7)} ((y + 7) (y + 2) (x + 3)) - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Étape 3.2.4

Simplifiez

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$3 y x + 9 y + 3 (2 x) + 3 \cdot 6 = \frac{5}{(y + 2) (y + 7)} ((y + 7) (y + 2) (x + 3)) - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$3 y x + 9 y + 6 x + 3 \cdot 6 = \frac{5}{(y + 2) (y + 7)} ((y + 7) (y + 2) (x + 3)) - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Étape 3.2.4.3

Multipliez $3$ par $6$ .

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = \frac{5}{(y + 2) (y + 7)} ((y + 7) (y + 2) (x + 3)) - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $(y + 7) (y + 2)$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Factorisez $(y + 7) (y + 2)$ à partir de $(y + 2) (y + 7)$ .

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = \frac{5}{(y + 7) (y + 2) (1)} ((y + 7) (y + 2) (x + 3)) - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Étape 3.3.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = \frac{5}{(y + 7) (y + 2) \cdot 1} ((y + 7) (y + 2) (x + 3)) - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Étape 3.3.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 (x + 3) - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Étape 3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x + 5 \cdot 3 - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x + 15 - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Étape 3.3.1.4

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 3.3.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x + 3}$ dans le numérateur.

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x + 15 + \frac{- 1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Étape 3.3.1.4.2

Factorisez $x + 3$ à partir de $(y + 7) (y + 2) (x + 3)$ .

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x + 15 + \frac{- 1}{x + 3} ((x + 3) ((y + 7) (y + 2)))$

Étape 3.3.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x + 15 + \frac{- 1}{x + 3} ((x + 3) ((y + 7) (y + 2)))$

Étape 3.3.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x + 15 - ((y + 7) (y + 2))$

Étape 3.3.1.5

Développez $(y + 7) (y + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x + 15 - (y (y + 2) + 7 (y + 2))$

Étape 3.3.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x + 15 - (y \cdot y + y \cdot 2 + 7 (y + 2))$

Étape 3.3.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x + 15 - (y \cdot y + y \cdot 2 + 7 y + 7 \cdot 2)$

Étape 3.3.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.6.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x + 15 - (y^{2} + y \cdot 2 + 7 y + 7 \cdot 2)$

Étape 3.3.1.6.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x + 15 - (y^{2} + 2 \cdot y + 7 y + 7 \cdot 2)$

Étape 3.3.1.6.1.3

Multipliez $7$ par $2$ .

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x + 15 - (y^{2} + 2 y + 7 y + 14)$

Étape 3.3.1.6.2

Additionnez $2 y$ et $7 y$ .

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x + 15 - (y^{2} + 9 y + 14)$

Étape 3.3.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x + 15 - y^{2} - (9 y) - 1 \cdot 14$

Étape 3.3.1.8

Simplifiez

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Étape 3.3.1.8.1

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x + 15 - y^{2} - 9 y - 1 \cdot 14$

Étape 3.3.1.8.2

Multipliez $- 1$ par $14$ .

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x + 15 - y^{2} - 9 y - 14$

Étape 3.3.2

Soustrayez $14$ de $15$ .

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x - y^{2} - 9 y + 1$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Ajoutez $y^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 + y^{2} = 5 x - 9 y + 1$

Étape 4.1.2

Ajoutez $9 y$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 + y^{2} + 9 y = 5 x + 1$

Étape 4.1.3

Additionnez $9 y$ et $9 y$ .

$3 y x + 6 x + 18 + y^{2} + 18 y = 5 x + 1$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1.1

Soustrayez $5 x$ des deux côtés de l’équation.

$3 y x + 6 x + 18 + y^{2} + 18 y - 5 x = 1$

Étape 4.2.1.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 y x + 6 x + 18 + y^{2} + 18 y - 5 x - 1 = 0$

Étape 4.2.2

Simplifiez $3 y x + 6 x + 18 + y^{2} + 18 y - 5 x - 1$ .

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Étape 4.2.2.1

Soustrayez $5 x$ de $6 x$ .

$3 y x + x + 18 + y^{2} + 18 y - 1 = 0$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $1$ de $18$ .

$3 y x + x + y^{2} + 18 y + 17 = 0$

Étape 4.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 3 x + 18$ et $c = x + 17$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- (3 x + 18) \pm \sqrt{{(3 x + 18)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x + 17))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- (3 x) - 1 \cdot 18 \pm \sqrt{{(3 x + 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 3 x - 1 \cdot 18 \pm \sqrt{{(3 x + 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $18$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{{(3 x + 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.4

Réécrivez ${(3 x + 18)}^{2}$ comme $(3 x + 18) (3 x + 18)$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{(3 x + 18) (3 x + 18) - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.5

Développez $(3 x + 18) (3 x + 18)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.5.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 x (3 x + 18) + 18 (3 x + 18) - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 x (3 x) + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x + 18) - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 x (3 x) + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.5.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.1.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 \cdot (3 x \cdot x) + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.5.1.6.1.2.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 \cdot (3 (x \cdot x)) + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 \cdot (3 x^{2}) + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6.1.4

Multipliez $18$ par $3$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 54 x + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6.1.5

Multipliez $3$ par $18$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 54 x + 54 x + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6.1.6

Multipliez $18$ par $18$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 54 x + 54 x + 324 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6.2

Additionnez $54 x$ et $54 x$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 108 x + 324 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.7

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 108 x + 324 - 4 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 108 x + 324 - 4 x - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.9

Multipliez $- 4$ par $17$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 108 x + 324 - 4 x - 68}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.10

Soustrayez $4 x$ de $108 x$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 104 x + 324 - 68}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.11

Soustrayez $68$ de $324$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 104 x + 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.12

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.5.1.12.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 9 \cdot 256 = 2304$ et dont la somme est $b = 104$ .

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Étape 4.5.1.12.1.1

Factorisez $104$ à partir de $104 x$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 104 (x) + 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.12.1.2

Réécrivez $104$ comme $32$ plus $72$

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + (32 + 72) x + 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.12.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 32 x + 72 x + 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.12.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.5.1.12.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{(9 x^{2} + 32 x) + 72 x + 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.12.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{x (9 x + 32) + 8 (9 x + 32)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.12.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $9 x + 32$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- (3 x) - 1 \cdot 18 \pm \sqrt{{(3 x + 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 3 x - 1 \cdot 18 \pm \sqrt{{(3 x + 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $18$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{{(3 x + 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.4

Réécrivez ${(3 x + 18)}^{2}$ comme $(3 x + 18) (3 x + 18)$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{(3 x + 18) (3 x + 18) - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.5

Développez $(3 x + 18) (3 x + 18)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 x (3 x + 18) + 18 (3 x + 18) - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 x (3 x) + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x + 18) - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 x (3 x) + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 \cdot (3 x \cdot x) + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.6.1.2.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 \cdot (3 (x \cdot x)) + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.6.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 \cdot (3 x^{2}) + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.6.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.6.1.4

Multipliez $18$ par $3$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 54 x + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.6.1.5

Multipliez $3$ par $18$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 54 x + 54 x + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.6.1.6

Multipliez $18$ par $18$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 54 x + 54 x + 324 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.6.2

Additionnez $54 x$ et $54 x$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 108 x + 324 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.7

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 108 x + 324 - 4 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 108 x + 324 - 4 x - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.9

Multipliez $- 4$ par $17$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 108 x + 324 - 4 x - 68}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.10

Soustrayez $4 x$ de $108 x$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 104 x + 324 - 68}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.11

Soustrayez $68$ de $324$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 104 x + 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.12

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.12.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 9 \cdot 256 = 2304$ et dont la somme est $b = 104$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.12.1.1

Factorisez $104$ à partir de $104 x$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 104 (x) + 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.12.1.2

Réécrivez $104$ comme $32$ plus $72$

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + (32 + 72) x + 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.12.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 32 x + 72 x + 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.12.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.12.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{(9 x^{2} + 32 x) + 72 x + 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.12.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{x (9 x + 32) + 8 (9 x + 32)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.12.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $9 x + 32$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

Étape 4.6.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 + \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

Étape 4.6.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x$ .

$y = \frac{- (3 x) - 18 + \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

Étape 4.6.5

Réécrivez $- 18$ comme $- 1 (18)$ .

$y = \frac{- (3 x) - 1 \cdot 18 + \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

Étape 4.6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x) - 1 (18)$ .

$y = \frac{- (3 x + 18) + \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

Étape 4.6.7

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}$ .

$y = \frac{- (3 x + 18) - 1 (- \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)})}{2}$

Étape 4.6.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x + 18) - 1 (- \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)})$ .

$y = \frac{- (3 x + 18 - \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)})}{2}$

Étape 4.6.9

Réécrivez $- (3 x + 18 - \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)})$ comme $- 1 (3 x + 18 - \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)})$ .

$y = \frac{- 1 (3 x + 18 - \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)})}{2}$

Étape 4.6.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{3 x + 18 - \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

Étape 4.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- (3 x) - 1 \cdot 18 \pm \sqrt{{(3 x + 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.7.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 3 x - 1 \cdot 18 \pm \sqrt{{(3 x + 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.7.1.3

Multipliez $- 1$ par $18$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{{(3 x + 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.7.1.4

Réécrivez ${(3 x + 18)}^{2}$ comme $(3 x + 18) (3 x + 18)$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{(3 x + 18) (3 x + 18) - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.7.1.5

Développez $(3 x + 18) (3 x + 18)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 x (3 x + 18) + 18 (3 x + 18) - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.7.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 x (3 x) + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x + 18) - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.7.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 x (3 x) + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.7.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.1.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 \cdot (3 x \cdot x) + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.7.1.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.1.6.1.2.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 \cdot (3 (x \cdot x)) + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.7.1.6.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 \cdot (3 x^{2}) + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.7.1.6.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.7.1.6.1.4

Multipliez $18$ par $3$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 54 x + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.7.1.6.1.5

Multipliez $3$ par $18$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 54 x + 54 x + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.7.1.6.1.6

Multipliez $18$ par $18$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 54 x + 54 x + 324 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.7.1.6.2

Additionnez $54 x$ et $54 x$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 108 x + 324 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.7.1.7

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 108 x + 324 - 4 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.7.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 108 x + 324 - 4 x - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.7.1.9

Multipliez $- 4$ par $17$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 108 x + 324 - 4 x - 68}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.7.1.10

Soustrayez $4 x$ de $108 x$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 104 x + 324 - 68}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.7.1.11

Soustrayez $68$ de $324$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 104 x + 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.7.1.12

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.1.12.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 9 \cdot 256 = 2304$ et dont la somme est $b = 104$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.1.12.1.1

Factorisez $104$ à partir de $104 x$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 104 (x) + 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.7.1.12.1.2

Réécrivez $104$ comme $32$ plus $72$

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + (32 + 72) x + 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.7.1.12.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 32 x + 72 x + 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.7.1.12.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.1.12.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{(9 x^{2} + 32 x) + 72 x + 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.7.1.12.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{x (9 x + 32) + 8 (9 x + 32)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.7.1.12.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $9 x + 32$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

Étape 4.7.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 - \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

Étape 4.7.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x$ .

$y = \frac{- (3 x) - 18 - \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

Étape 4.7.5

Réécrivez $- 18$ comme $- 1 (18)$ .

$y = \frac{- (3 x) - 1 \cdot 18 - \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

Étape 4.7.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x) - 1 (18)$ .

$y = \frac{- (3 x + 18) - \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

Étape 4.7.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}$ .

$y = \frac{- (3 x + 18) - (\sqrt{(9 x + 32) (x + 8)})}{2}$

Étape 4.7.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x + 18) - (\sqrt{(9 x + 32) (x + 8)})$ .

$y = \frac{- (3 x + 18 + \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)})}{2}$

Étape 4.7.9

Réécrivez $- (3 x + 18 + \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)})$ comme $- 1 (3 x + 18 + \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)})$ .

$y = \frac{- 1 (3 x + 18 + \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)})}{2}$

Étape 4.7.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{3 x + 18 + \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

Étape 4.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{3 x + 18 - \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

$y = - \frac{3 x + 18 + \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

$y = - \frac{3 x + 18 - \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

$y = - \frac{3 x + 18 + \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

Étape 5

L’équation donnée $y = - \frac{3 x + 18 - \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}, - \frac{3 x + 18 + \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$ ne peut pas être écrite comme $y = k x^{2}$ , si bien que $y$ ne varie pas directement avec $x^{2}$ .

$y$ ne varie pas directement avec $x$