Pré-algèbre Exemples

$\frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$

Étape 1

Écrivez $\frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$ comme une équation.

$y = \frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$

Étape 2

Simplifiez $\frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$ .

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Étape 2.1

Divisez la fraction $\frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$ en deux fractions.

$y = \frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{3}$ .

$y = \frac{x (- x^{2}) + 23 x^{2} - 104 x}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $23 x^{2}$ .

$y = \frac{x (- x^{2}) + x (23 x) - 104 x}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- 104 x$ .

$y = \frac{x (- x^{2}) + x (23 x) + x \cdot - 104}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x (- x^{2}) + x (23 x)$ .

$y = \frac{x (- x^{2} + 23 x) + x \cdot - 104}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (- x^{2} + 23 x) + x \cdot - 104$ .

$y = \frac{x (- x^{2} + 23 x - 104)}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Étape 2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x (- x^{2} + 23 x - 104)}{x - 11} - \frac{308}{x - 11}$

Étape 3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x (- x^{2} + 23 x - 104) - 308}{x - 11}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x (- x^{2}) + x (23 x) + x \cdot - 104 - 308}{x - 11}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{- x \cdot x^{2} + x (23 x) + x \cdot - 104 - 308}{x - 11}$

Étape 4.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{- x \cdot x^{2} + 23 x \cdot x + x \cdot - 104 - 308}{x - 11}$

Étape 4.2.3

Déplacez $- 104$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{- x \cdot x^{2} + 23 x \cdot x - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Étape 4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y = \frac{- (x^{2} x) + 23 x \cdot x - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 4.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{- (x^{2} x^{1}) + 23 x \cdot x - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Étape 4.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{- x^{2 + 1} + 23 x \cdot x - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Étape 4.3.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$y = \frac{- x^{3} + 23 x \cdot x - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Étape 4.3.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.2.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{- x^{3} + 23 (x \cdot x) - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

$y = \frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$

Étape 4.4

Réécrivez $- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308$ en forme factorisée.

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Étape 4.4.1

Factorisez $- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 4.4.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 308, \pm 2, \pm 154, \pm 4, \pm 77, \pm 7, \pm 44, \pm 11, \pm 28, \pm 14, \pm 22$

$q = \pm 1$

Étape 4.4.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 308, \pm 2, \pm 154, \pm 4, \pm 77, \pm 7, \pm 44, \pm 11, \pm 28, \pm 14, \pm 22$

Étape 4.4.1.3

Remplacez $- 2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 2$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.4.1.3.1

Remplacez $- 2$ dans le polynôme.

$- {(- 2)}^{3} + 23 {(- 2)}^{2} - 104 \cdot - 2 - 308$

Étape 4.4.1.3.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- - 8 + 23 {(- 2)}^{2} - 104 \cdot - 2 - 308$

Étape 4.4.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$8 + 23 {(- 2)}^{2} - 104 \cdot - 2 - 308$

Étape 4.4.1.3.4

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$8 + 23 \cdot 4 - 104 \cdot - 2 - 308$

Étape 4.4.1.3.5

Multipliez $23$ par $4$ .

$8 + 92 - 104 \cdot - 2 - 308$

Étape 4.4.1.3.6

Additionnez $8$ et $92$ .

$100 - 104 \cdot - 2 - 308$

Étape 4.4.1.3.7

Multipliez $- 104$ par $- 2$ .

$100 + 208 - 308$

Étape 4.4.1.3.8

Additionnez $100$ et $208$ .

$308 - 308$

Étape 4.4.1.3.9

Soustrayez $308$ de $308$ .

$0$

Étape 4.4.1.4

Comme $- 2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x + 2}$

Étape 4.4.1.5

Divisez $- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308$ par $x + 2$ .

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Étape 4.4.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$23 x^{2}$

$104 x$

$308$

Étape 4.4.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$

Étape 4.4.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 4.4.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{3} - 2 x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 4.4.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$

Étape 4.4.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$

Étape 4.4.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $25 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$25 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$

Étape 4.4.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$	+	$25 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					+	$25 x^{2}$	+	$50 x$

Étape 4.4.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $25 x^{2} + 50 x$

			-	$x^{2}$	+	$25 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$

Étape 4.4.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$	+	$25 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$

Étape 4.4.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x^{2}$	+	$25 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$	-	$308$

Étape 4.4.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 154 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$25 x$	-	$154$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$	-	$308$

Étape 4.4.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$	+	$25 x$	-	$154$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$	-	$308$
							-	$154 x$	-	$308$

Étape 4.4.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 154 x - 308$

			-	$x^{2}$	+	$25 x$	-	$154$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$	-	$308$
							+	$154 x$	+	$308$

Étape 4.4.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$	+	$25 x$	-	$154$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$	-	$308$
							+	$154 x$	+	$308$
										$0$

Étape 4.4.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- x^{2} + 25 x - 154$

Étape 4.4.1.6

Écrivez $- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308$ comme un ensemble de facteurs.

$y = \frac{(x + 2) (- x^{2} + 25 x - 154)}{x - 11}$

Étape 4.4.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.4.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 154 = 154$ et dont la somme est $b = 25$ .

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Étape 4.4.2.1.1

Factorisez $25$ à partir de $25 x$ .

$y = \frac{(x + 2) (- x^{2} + 25 (x) - 154)}{x - 11}$

Étape 4.4.2.1.2

Réécrivez $25$ comme $11$ plus $14$

$y = \frac{(x + 2) (- x^{2} + (11 + 14) x - 154)}{x - 11}$

Étape 4.4.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{(x + 2) (- x^{2} + 11 x + 14 x - 154)}{x - 11}$

Étape 4.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.4.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{(x + 2) ((- x^{2} + 11 x) + 14 x - 154)}{x - 11}$

Étape 4.4.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{(x + 2) (x (- x + 11) - 14 (- x + 11))}{x - 11}$

Étape 4.4.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 11$ .

$y = \frac{(x + 2) ((- x + 11) (x - 14))}{x - 11}$

$y = \frac{(x + 2) (- x + 11) (x - 14)}{x - 11}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à $- x + 11$ et $x - 11$ .

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Étape 5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y = \frac{(x + 2) (- (x) + 11) (x - 14)}{x - 11}$

Étape 5.2

Réécrivez $11$ comme $- 1 (- 11)$ .

$y = \frac{(x + 2) (- (x) - 1 (- 11)) (x - 14)}{x - 11}$

Étape 5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 11)$ .

$y = \frac{(x + 2) (- (x - 11)) (x - 14)}{x - 11}$

Étape 5.4

Réécrivez $- (x - 11)$ comme $- 1 (x - 11)$ .

$y = \frac{(x + 2) (- 1 (x - 11)) (x - 14)}{x - 11}$

Étape 5.5

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{(x + 2) (- 1 (x - 11)) (x - 14)}{x - 11}$

Étape 5.6

Divisez $((x + 2) \cdot (- 1)) (x - 14)$ par $1$ .

$y = ((x + 2) \cdot (- 1)) (x - 14)$

Étape 6

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x \cdot - 1 + 2 \cdot - 1) (x - 14)$

Étape 7

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$y = (- 1 \cdot x + 2 \cdot - 1) (x - 14)$

Étape 8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = (- 1 \cdot x - 2) (x - 14)$

Étape 9

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = (- x - 2) (x - 14)$

Étape 10

Développez $(- x - 2) (x - 14)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - x (x - 14) - 2 (x - 14)$

Étape 10.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - x \cdot x - x \cdot - 14 - 2 (x - 14)$

Étape 10.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = - x \cdot x - x \cdot - 14 - 2 x - 2 \cdot - 14$

Étape 11

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.1.1.1

Déplacez $x$ .

$y = - (x \cdot x) - x \cdot - 14 - 2 x - 2 \cdot - 14$

Étape 11.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = - x^{2} - x \cdot - 14 - 2 x - 2 \cdot - 14$

Étape 11.1.2

Multipliez $- 14$ par $- 1$ .

$y = - x^{2} + 14 x - 2 x - 2 \cdot - 14$

Étape 11.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 14$ .

$y = - x^{2} + 14 x - 2 x + 28$

Étape 11.2

Soustrayez $2 x$ de $14 x$ .

$y = - x^{2} + 12 x + 28$

Étape 12

Lors de la résolution de $y$ , $y$ ne varie pas directement avec $x^{2}$ .

$y$ ne varie pas directement avec $x^{2}$