Pré-algèbre Exemples

$\frac{x^{2}}{50^{2}} + \frac{y^{2}}{20^{2}} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Élevez $50$ à la puissance $2$ .

$\frac{x^{2}}{2500} + \frac{y^{2}}{20^{2}} = 1$

Étape 1.2

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$\frac{x^{2}}{2500} + \frac{y^{2}}{400} = 1$

Étape 2

Soustrayez $\frac{x^{2}}{2500}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{400} = 1 - \frac{x^{2}}{2500}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $400$ .

$400 \frac{y^{2}}{400} = 400 (1 - \frac{x^{2}}{2500})$

Étape 4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun de $400$ .

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Étape 4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$400 \frac{y^{2}}{400} = 400 (1 - \frac{x^{2}}{2500})$

Étape 4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 400 (1 - \frac{x^{2}}{2500})$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $400 (1 - \frac{x^{2}}{2500})$ .

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 400 \cdot 1 + 400 (- \frac{x^{2}}{2500})$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $400$ par $1$ .

$y^{2} = 400 + 400 (- \frac{x^{2}}{2500})$

Étape 4.2.1.3

Annulez le facteur commun de $100$ .

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Étape 4.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{2}}{2500}$ dans le numérateur.

$y^{2} = 400 + 400 \frac{- x^{2}}{2500}$

Étape 4.2.1.3.2

Factorisez $100$ à partir de $400$ .

$y^{2} = 400 + 100 (4) \frac{- x^{2}}{2500}$

Étape 4.2.1.3.3

Factorisez $100$ à partir de $2500$ .

$y^{2} = 400 + 100 \cdot 4 \frac{- x^{2}}{100 \cdot 25}$

Étape 4.2.1.3.4

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 400 + 100 \cdot 4 \frac{- x^{2}}{100 \cdot 25}$

Étape 4.2.1.3.5

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 400 + 4 \frac{- x^{2}}{25}$

Étape 4.2.1.4

Associez $4$ et $\frac{- x^{2}}{25}$ .

$y^{2} = 400 + \frac{4 (- x^{2})}{25}$

Étape 4.2.1.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y^{2} = 400 + \frac{- 4 x^{2}}{25}$

Étape 4.2.1.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = 400 - \frac{4 x^{2}}{25}$

Étape 5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{400 - \frac{4 x^{2}}{25}}$

Étape 6

Simplifiez $\pm \sqrt{400 - \frac{4 x^{2}}{25}}$ .

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Étape 6.1

Écrivez l’expression en utilisant des exposants.

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Étape 6.1.1

Réécrivez $400$ comme $20^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{20^{2} - \frac{4 x^{2}}{25}}$

Étape 6.1.2

Réécrivez $\frac{4 x^{2}}{25}$ comme ${(\frac{2 x}{5})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{20^{2} - {(\frac{2 x}{5})}^{2}}$

Étape 6.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 20$ et $b = \frac{2 x}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 8

Pour écrire $20$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$y = \sqrt{(20 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 9

Associez $20$ et $\frac{5}{5}$ .

$y = \sqrt{(\frac{20 \cdot 5}{5} + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt{\frac{20 \cdot 5 + 2 x}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1

Factorisez $2$ à partir de $20 \cdot 5 + 2 x$ .

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Étape 11.1.1

Factorisez $2$ à partir de $20 \cdot 5$ .

$y = \sqrt{\frac{2 (10 \cdot 5) + 2 x}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 11.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$y = \sqrt{\frac{2 (10 \cdot 5) + 2 (x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 11.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (10 \cdot 5) + 2 (x)$ .

$y = \sqrt{\frac{2 (10 \cdot 5 + x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = \sqrt{\frac{2 (10 \cdot 5 + x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 11.2

Multipliez $10$ par $5$ .

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 12

Pour écrire $20$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot (20 \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 13

Associez $20$ et $\frac{5}{5}$ .

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot (\frac{20 \cdot 5}{5} - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{20 \cdot 5 - 2 x}{5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.1

Factorisez $2$ à partir de $20 \cdot 5 - 2 x$ .

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Étape 15.1.1

Factorisez $2$ à partir de $20 \cdot 5$ .

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (10 \cdot 5) - 2 x}{5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 15.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (10 \cdot 5) + 2 (- x)}{5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 15.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (10 \cdot 5) + 2 (- x)$ .

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (10 \cdot 5 - x)}{5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (10 \cdot 5 - x)}{5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 15.2

Multipliez $10$ par $5$ .

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (50 - x)}{5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (50 - x)}{5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 16

Multipliez $\frac{2 (50 + x)}{5}$ par $\frac{2 (50 - x)}{5}$ .

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x) (2 (50 - x))}{5 \cdot 5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 17

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \sqrt{\frac{4 (50 + x) (50 - x)}{5 \cdot 5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 18

Multipliez $5$ par $5$ .

$y = \sqrt{\frac{4 (50 + x) (50 - x)}{25}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 19

Réécrivez $\frac{4 (50 + x) (50 - x)}{25}$ comme ${(\frac{2}{5})}^{2} ((50 + x) (50 - x))$ .

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Étape 19.1

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4 (50 + x) (50 - x)$ .

$y = \sqrt{\frac{2^{2} ((50 + x) (50 - x))}{25}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 19.2

Factorisez la puissance parfaite $5^{2}$ dans $25$ .

$y = \sqrt{\frac{2^{2} ((50 + x) (50 - x))}{5^{2} \cdot 1}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 19.3

Réorganisez la fraction $\frac{2^{2} ((50 + x) (50 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$y = \sqrt{{(\frac{2}{5})}^{2} ((50 + x) (50 - x))}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = \sqrt{{(\frac{2}{5})}^{2} ((50 + x) (50 - x))}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 20

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2}{5} \cdot \sqrt{(50 + x) (50 - x)}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 21

Associez $\frac{2}{5}$ et $\sqrt{(50 + x) (50 - x)}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 22

Pour écrire $20$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{(20 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 23

Associez $20$ et $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{(\frac{20 \cdot 5}{5} + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{20 \cdot 5 + 2 x}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 25

Simplifiez le numérateur.

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Étape 25.1

Factorisez $2$ à partir de $20 \cdot 5 + 2 x$ .

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Étape 25.1.1

Factorisez $2$ à partir de $20 \cdot 5$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (10 \cdot 5) + 2 x}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 25.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (10 \cdot 5) + 2 (x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 25.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (10 \cdot 5) + 2 (x)$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (10 \cdot 5 + x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (10 \cdot 5 + x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 25.2

Multipliez $10$ par $5$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

Étape 26

Pour écrire $20$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot (20 \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 x}{5})}$

Étape 27

Associez $20$ et $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot (\frac{20 \cdot 5}{5} - \frac{2 x}{5})}$

Étape 28

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{20 \cdot 5 - 2 x}{5}}$

Étape 29

Simplifiez le numérateur.

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Étape 29.1

Factorisez $2$ à partir de $20 \cdot 5 - 2 x$ .

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Étape 29.1.1

Factorisez $2$ à partir de $20 \cdot 5$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (10 \cdot 5) - 2 x}{5}}$

Étape 29.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (10 \cdot 5) + 2 (- x)}{5}}$

Étape 29.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (10 \cdot 5) + 2 (- x)$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (10 \cdot 5 - x)}{5}}$

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (10 \cdot 5 - x)}{5}}$

Étape 29.2

Multipliez $10$ par $5$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (50 - x)}{5}}$

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (50 - x)}{5}}$

Étape 30

Multipliez $\frac{2 (50 + x)}{5}$ par $\frac{2 (50 - x)}{5}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x) (2 (50 - x))}{5 \cdot 5}}$

Étape 31

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{4 (50 + x) (50 - x)}{5 \cdot 5}}$

Étape 32

Multipliez $5$ par $5$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{4 (50 + x) (50 - x)}{25}}$

Étape 33

Réécrivez $\frac{4 (50 + x) (50 - x)}{25}$ comme ${(\frac{2}{5})}^{2} ((50 + x) (50 - x))$ .

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Étape 33.1

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4 (50 + x) (50 - x)$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2^{2} ((50 + x) (50 - x))}{25}}$

Étape 33.2

Factorisez la puissance parfaite $5^{2}$ dans $25$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2^{2} ((50 + x) (50 - x))}{5^{2} \cdot 1}}$

Étape 33.3

Réorganisez la fraction $\frac{2^{2} ((50 + x) (50 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{{(\frac{2}{5})}^{2} ((50 + x) (50 - x))}$

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{{(\frac{2}{5})}^{2} ((50 + x) (50 - x))}$

Étape 34

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - (\frac{2}{5} \cdot \sqrt{(50 + x) (50 - x)})$

Étape 35

Associez $\frac{2}{5}$ et $\sqrt{(50 + x) (50 - x)}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

Étape 36

L’équation donnée $y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}, - \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$ ne peut pas être écrite comme $y = k x^{2}$ , si bien que $y$ ne varie pas directement avec $x^{2}$ .

$y$ ne varie pas directement avec $x$