Pré-algèbre Exemples

$36 x^{2} - 9 y^{2} - 72 x - 108 y + 36 = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = - 9$ , $b = - 108$ et $c = 36 x^{2} - 72 x + 36$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{108 \pm \sqrt{{(- 108)}^{2} - 4 \cdot (- 9 \cdot (36 x^{2} - 72 x + 36))}}{2 \cdot - 9}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Élevez $- 108$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 - 4 \cdot - 9 \cdot (36 x^{2} - 72 x + 36)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 9$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 36 \cdot (36 x^{2} - 72 x + 36)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 36 (36 x^{2}) + 36 (- 72 x) + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Étape 3.1.4

Simplifiez

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $36$ par $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} + 36 (- 72 x) + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $- 72$ par $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} - 2592 x + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Étape 3.1.4.3

Multipliez $36$ par $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} - 2592 x + 1296}}{2 \cdot - 9}$

Étape 3.1.5

Additionnez $11664$ et $1296$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 x^{2} - 2592 x + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Étape 3.1.6

Factorisez $1296$ à partir de $1296 x^{2} - 2592 x + 12960$ .

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Étape 3.1.6.1

Factorisez $1296$ à partir de $1296 x^{2}$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2}) - 2592 x + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Étape 3.1.6.2

Factorisez $1296$ à partir de $- 2592 x$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2}) + 1296 (- 2 x) + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Étape 3.1.6.3

Factorisez $1296$ à partir de $12960$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 x^{2} + 1296 (- 2 x) + 1296 \cdot 10}}{2 \cdot - 9}$

Étape 3.1.6.4

Factorisez $1296$ à partir de $1296 x^{2} + 1296 (- 2 x)$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2} - 2 x) + 1296 \cdot 10}}{2 \cdot - 9}$

Étape 3.1.6.5

Factorisez $1296$ à partir de $1296 (x^{2} - 2 x) + 1296 \cdot 10$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 3.1.7

Réécrivez $1296 (x^{2} - 2 x + 10)$ comme ${(6^{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 10)$ .

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Étape 3.1.7.1

Réécrivez $1296$ comme $36^{2}$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{36^{2} (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 3.1.7.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{{(6^{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{108 \pm 6^{2} \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{2 \cdot - 9}$

Étape 3.1.9

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{2 \cdot - 9}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$y = \frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 18}$

Étape 3.3

Simplifiez $\frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 18}$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 1}$

Étape 3.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Étape 3.5

Réécrivez $- 1 \cdot (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$ comme $- (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$ .

$y = - (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Étape 4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 108$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 - 4 \cdot - 9 \cdot (36 x^{2} - 72 x + 36)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 9$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 36 \cdot (36 x^{2} - 72 x + 36)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 36 (36 x^{2}) + 36 (- 72 x) + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Multipliez $36$ par $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} + 36 (- 72 x) + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Étape 4.1.4.2

Multipliez $- 72$ par $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} - 2592 x + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $36$ par $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} - 2592 x + 1296}}{2 \cdot - 9}$

Étape 4.1.5

Additionnez $11664$ et $1296$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 x^{2} - 2592 x + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Étape 4.1.6

Factorisez $1296$ à partir de $1296 x^{2} - 2592 x + 12960$ .

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Étape 4.1.6.1

Factorisez $1296$ à partir de $1296 x^{2}$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2}) - 2592 x + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Étape 4.1.6.2

Factorisez $1296$ à partir de $- 2592 x$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2}) + 1296 (- 2 x) + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Étape 4.1.6.3

Factorisez $1296$ à partir de $12960$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 x^{2} + 1296 (- 2 x) + 1296 \cdot 10}}{2 \cdot - 9}$

Étape 4.1.6.4

Factorisez $1296$ à partir de $1296 x^{2} + 1296 (- 2 x)$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2} - 2 x) + 1296 \cdot 10}}{2 \cdot - 9}$

Étape 4.1.6.5

Factorisez $1296$ à partir de $1296 (x^{2} - 2 x) + 1296 \cdot 10$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 4.1.7

Réécrivez $1296 (x^{2} - 2 x + 10)$ comme ${(6^{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 10)$ .

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Étape 4.1.7.1

Réécrivez $1296$ comme $36^{2}$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{36^{2} (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 4.1.7.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{{(6^{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{108 \pm 6^{2} \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{2 \cdot - 9}$

Étape 4.1.9

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{2 \cdot - 9}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$y = \frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 18}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 18}$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 1}$

Étape 4.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Étape 4.5

Réécrivez $- 1 \cdot (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$ comme $- (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$ .

$y = - (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Étape 4.6

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = - (6 + 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Étape 4.7

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 1 \cdot 6 - (2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Étape 4.8

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$y = - 6 - (2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Étape 4.9

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = - 6 - 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 108$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 - 4 \cdot - 9 \cdot (36 x^{2} - 72 x + 36)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 9$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 36 \cdot (36 x^{2} - 72 x + 36)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 36 (36 x^{2}) + 36 (- 72 x) + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Multipliez $36$ par $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} + 36 (- 72 x) + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Étape 5.1.4.2

Multipliez $- 72$ par $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} - 2592 x + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Étape 5.1.4.3

Multipliez $36$ par $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} - 2592 x + 1296}}{2 \cdot - 9}$

Étape 5.1.5

Additionnez $11664$ et $1296$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 x^{2} - 2592 x + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Étape 5.1.6

Factorisez $1296$ à partir de $1296 x^{2} - 2592 x + 12960$ .

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Étape 5.1.6.1

Factorisez $1296$ à partir de $1296 x^{2}$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2}) - 2592 x + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Étape 5.1.6.2

Factorisez $1296$ à partir de $- 2592 x$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2}) + 1296 (- 2 x) + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Étape 5.1.6.3

Factorisez $1296$ à partir de $12960$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 x^{2} + 1296 (- 2 x) + 1296 \cdot 10}}{2 \cdot - 9}$

Étape 5.1.6.4

Factorisez $1296$ à partir de $1296 x^{2} + 1296 (- 2 x)$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2} - 2 x) + 1296 \cdot 10}}{2 \cdot - 9}$

Étape 5.1.6.5

Factorisez $1296$ à partir de $1296 (x^{2} - 2 x) + 1296 \cdot 10$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 5.1.7

Réécrivez $1296 (x^{2} - 2 x + 10)$ comme ${(6^{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 10)$ .

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Étape 5.1.7.1

Réécrivez $1296$ comme $36^{2}$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{36^{2} (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 5.1.7.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{{(6^{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{108 \pm 6^{2} \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{2 \cdot - 9}$

Étape 5.1.9

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{2 \cdot - 9}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$y = \frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 18}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 18}$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 1}$

Étape 5.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Étape 5.5

Réécrivez $- 1 \cdot (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$ comme $- (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$ .

$y = - (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Étape 5.6

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = - (6 - 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Étape 5.7

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 1 \cdot 6 - (- 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Étape 5.8

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$y = - 6 - (- 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Étape 5.9

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y = - 6 + 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - 6 - 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}$

$y = - 6 + 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}$

Étape 7

L’équation donnée $y = - 6 - 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}, - 6 + 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}$ ne peut pas être écrite comme $y = k x^{2}$ , si bien que $y$ ne varie pas directement avec $x^{2}$ .

$y$ ne varie pas directement avec $x$