Pré-algèbre Exemples

$36 x^{2} + 81 y^{2} + 504 x - 324 y - 828 = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = 81$ , $b = - 324$ et $c = 36 x^{2} + 504 x - 828$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{324 \pm \sqrt{{(- 324)}^{2} - 4 \cdot (81 \cdot (36 x^{2} + 504 x - 828))}}{2 \cdot 81}$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Élevez $- 324$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 4 \cdot 81 \cdot (36 x^{2} + 504 x - 828)}}{2 \cdot 81}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 4$ par $81$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 324 \cdot (36 x^{2} + 504 x - 828)}}{2 \cdot 81}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 324 (36 x^{2}) - 324 (504 x) - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

Étape 3.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.4.1

Multipliez $36$ par $- 324$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 324 (504 x) - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $504$ par $- 324$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 163296 x - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

Étape 3.1.4.3

Multipliez $- 324$ par $- 828$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 163296 x + 268272}}{2 \cdot 81}$

Étape 3.1.5

Additionnez $104976$ et $268272$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248}}{2 \cdot 81}$

Étape 3.1.6

Réécrivez $- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248$ en forme factorisée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.6.1

Factorisez $11664$ à partir de $- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.6.1.1

Factorisez $11664$ à partir de $- 11664 x^{2}$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) - 163296 x + 373248}}{2 \cdot 81}$

Étape 3.1.6.1.2

Factorisez $11664$ à partir de $- 163296 x$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x) + 373248}}{2 \cdot 81}$

Étape 3.1.6.1.3

Factorisez $11664$ à partir de $373248$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x) + 11664 (32)}}{2 \cdot 81}$

Étape 3.1.6.1.4

Factorisez $11664$ à partir de $11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x)$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x) + 11664 (32)}}{2 \cdot 81}$

Étape 3.1.6.1.5

Factorisez $11664$ à partir de $11664 (- x^{2} - 14 x) + 11664 (32)$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

Étape 3.1.6.2

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.6.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 32 = - 32$ et dont la somme est $b = - 14$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.6.2.1.1

Factorisez $- 14$ à partir de $- 14 x$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

Étape 3.1.6.2.1.2

Réécrivez $- 14$ comme $2$ plus $- 16$

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} + (2 - 16) x + 32)}}{2 \cdot 81}$

Étape 3.1.6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} + 2 x - 16 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

Étape 3.1.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.6.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 ((- x^{2} + 2 x) - 16 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

Étape 3.1.6.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (x (- x + 2) + 16 (- x + 2))}}{2 \cdot 81}$

Étape 3.1.6.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 2$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 ((- x + 2) (x + 16))}}{2 \cdot 81}$

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

Étape 3.1.7

Réécrivez $11664 (- x + 2) (x + 16)$ comme $108^{2} ((- x + 2) (x + 4^{2}))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.7.1

Réécrivez $11664$ comme $108^{2}$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} (- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

Étape 3.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} (- x + 2) (x + 4^{2})}}{2 \cdot 81}$

Étape 3.1.7.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} ((- x + 2) (x + 4^{2}))}}{2 \cdot 81}$

Étape 3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 4^{2})}}{2 \cdot 81}$

Étape 3.1.9

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $81$ .

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{162}$

Étape 3.3

Simplifiez $\frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{162}$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{3}$

Étape 4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Élevez $- 324$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 4 \cdot 81 \cdot (36 x^{2} + 504 x - 828)}}{2 \cdot 81}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4$ par $81$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 324 \cdot (36 x^{2} + 504 x - 828)}}{2 \cdot 81}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 324 (36 x^{2}) - 324 (504 x) - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

Étape 4.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.1

Multipliez $36$ par $- 324$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 324 (504 x) - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

Étape 4.1.4.2

Multipliez $504$ par $- 324$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 163296 x - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $- 324$ par $- 828$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 163296 x + 268272}}{2 \cdot 81}$

Étape 4.1.5

Additionnez $104976$ et $268272$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248}}{2 \cdot 81}$

Étape 4.1.6

Réécrivez $- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248$ en forme factorisée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.1

Factorisez $11664$ à partir de $- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.1.1

Factorisez $11664$ à partir de $- 11664 x^{2}$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) - 163296 x + 373248}}{2 \cdot 81}$

Étape 4.1.6.1.2

Factorisez $11664$ à partir de $- 163296 x$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x) + 373248}}{2 \cdot 81}$

Étape 4.1.6.1.3

Factorisez $11664$ à partir de $373248$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x) + 11664 (32)}}{2 \cdot 81}$

Étape 4.1.6.1.4

Factorisez $11664$ à partir de $11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x)$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x) + 11664 (32)}}{2 \cdot 81}$

Étape 4.1.6.1.5

Factorisez $11664$ à partir de $11664 (- x^{2} - 14 x) + 11664 (32)$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

Étape 4.1.6.2

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 32 = - 32$ et dont la somme est $b = - 14$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.2.1.1

Factorisez $- 14$ à partir de $- 14 x$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

Étape 4.1.6.2.1.2

Réécrivez $- 14$ comme $2$ plus $- 16$

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} + (2 - 16) x + 32)}}{2 \cdot 81}$

Étape 4.1.6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} + 2 x - 16 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

Étape 4.1.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 ((- x^{2} + 2 x) - 16 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

Étape 4.1.6.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (x (- x + 2) + 16 (- x + 2))}}{2 \cdot 81}$

Étape 4.1.6.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 2$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 ((- x + 2) (x + 16))}}{2 \cdot 81}$

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

Étape 4.1.7

Réécrivez $11664 (- x + 2) (x + 16)$ comme $108^{2} ((- x + 2) (x + 4^{2}))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.7.1

Réécrivez $11664$ comme $108^{2}$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} (- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

Étape 4.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} (- x + 2) (x + 4^{2})}}{2 \cdot 81}$

Étape 4.1.7.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} ((- x + 2) (x + 4^{2}))}}{2 \cdot 81}$

Étape 4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 4^{2})}}{2 \cdot 81}$

Étape 4.1.9

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $81$ .

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{162}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{162}$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{3}$

Étape 4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{6 + 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{3}$

Étape 4.5

Factorisez $2$ à partir de $6 + 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$y = \frac{2 \cdot 3 + 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{3}$

Étape 4.5.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 3 + 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}$ .

$y = \frac{2 (3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 16)})}{3}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Élevez $- 324$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 4 \cdot 81 \cdot (36 x^{2} + 504 x - 828)}}{2 \cdot 81}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4$ par $81$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 324 \cdot (36 x^{2} + 504 x - 828)}}{2 \cdot 81}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 324 (36 x^{2}) - 324 (504 x) - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

Étape 5.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.1

Multipliez $36$ par $- 324$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 324 (504 x) - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

Étape 5.1.4.2

Multipliez $504$ par $- 324$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 163296 x - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

Étape 5.1.4.3

Multipliez $- 324$ par $- 828$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 163296 x + 268272}}{2 \cdot 81}$

Étape 5.1.5

Additionnez $104976$ et $268272$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248}}{2 \cdot 81}$

Étape 5.1.6

Réécrivez $- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248$ en forme factorisée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.6.1

Factorisez $11664$ à partir de $- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.6.1.1

Factorisez $11664$ à partir de $- 11664 x^{2}$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) - 163296 x + 373248}}{2 \cdot 81}$

Étape 5.1.6.1.2

Factorisez $11664$ à partir de $- 163296 x$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x) + 373248}}{2 \cdot 81}$

Étape 5.1.6.1.3

Factorisez $11664$ à partir de $373248$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x) + 11664 (32)}}{2 \cdot 81}$

Étape 5.1.6.1.4

Factorisez $11664$ à partir de $11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x)$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x) + 11664 (32)}}{2 \cdot 81}$

Étape 5.1.6.1.5

Factorisez $11664$ à partir de $11664 (- x^{2} - 14 x) + 11664 (32)$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

Étape 5.1.6.2

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.6.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 32 = - 32$ et dont la somme est $b = - 14$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.6.2.1.1

Factorisez $- 14$ à partir de $- 14 x$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

Étape 5.1.6.2.1.2

Réécrivez $- 14$ comme $2$ plus $- 16$

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} + (2 - 16) x + 32)}}{2 \cdot 81}$

Étape 5.1.6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} + 2 x - 16 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

Étape 5.1.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.6.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 ((- x^{2} + 2 x) - 16 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

Étape 5.1.6.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (x (- x + 2) + 16 (- x + 2))}}{2 \cdot 81}$

Étape 5.1.6.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 2$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 ((- x + 2) (x + 16))}}{2 \cdot 81}$

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

Étape 5.1.7

Réécrivez $11664 (- x + 2) (x + 16)$ comme $108^{2} ((- x + 2) (x + 4^{2}))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.7.1

Réécrivez $11664$ comme $108^{2}$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} (- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

Étape 5.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} (- x + 2) (x + 4^{2})}}{2 \cdot 81}$

Étape 5.1.7.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} ((- x + 2) (x + 4^{2}))}}{2 \cdot 81}$

Étape 5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 4^{2})}}{2 \cdot 81}$

Étape 5.1.9

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $81$ .

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{162}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{162}$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{3}$

Étape 5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{6 - 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{3}$

Étape 5.5

Factorisez $2$ à partir de $6 - 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$y = \frac{2 (3) - 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{3}$

Étape 5.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}$ .

$y = \frac{2 (3) + 2 (- \sqrt{(- x + 2) (x + 16)})}{3}$

Étape 5.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3) + 2 (- \sqrt{(- x + 2) (x + 16)})$ .

$y = \frac{2 (3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 16)})}{3}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{2 (3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 16)})}{3}$

$y = \frac{2 (3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 16)})}{3}$

Étape 7

L’équation donnée $y = \frac{2 (3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 16)})}{3}, \frac{2 (3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 16)})}{3}$ ne peut pas être écrite comme $y = k x^{2}$ , si bien que $y$ ne varie pas directement avec $x^{2}$ .

$y$ ne varie pas directement avec $x$