Pré-algèbre Exemples

$3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x - 40 y + 103 = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = - 40$ et $c = 3 x^{2} - 6 x + 103$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{40 \pm \sqrt{{(- 40)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (3 x^{2} - 6 x + 103))}}{2 \cdot 4}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Élevez $- 40$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 4 \cdot (3 x^{2} - 6 x + 103)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 16 \cdot (3 x^{2} - 6 x + 103)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 16 (3 x^{2}) - 16 (- 6 x) - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.4

Simplifiez

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $3$ par $- 16$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} - 16 (- 6 x) - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $- 6$ par $- 16$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} + 96 x - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.4.3

Multipliez $- 16$ par $103$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} + 96 x - 1648}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.5

Soustrayez $1648$ de $1600$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{- 48 x^{2} + 96 x - 48}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.6

Réécrivez $- 48 x^{2} + 96 x - 48$ en forme factorisée.

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Étape 3.1.6.1

Factorisez $48$ à partir de $- 48 x^{2} + 96 x - 48$ .

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Étape 3.1.6.1.1

Factorisez $48$ à partir de $- 48 x^{2}$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 96 x - 48}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.6.1.2

Factorisez $48$ à partir de $96 x$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (2 x) - 48}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.6.1.3

Factorisez $48$ à partir de $- 48$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (2 x) + 48 (- 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.6.1.4

Factorisez $48$ à partir de $48 (- x^{2}) + 48 (2 x)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 x) + 48 (- 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.6.1.5

Factorisez $48$ à partir de $48 (- x^{2} + 2 x) + 48 (- 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.6.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1.6.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 3.1.6.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 (x) - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.6.2.1.2

Réécrivez $2$ comme $1$ plus $1$

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + (1 + 1) x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 1 x + 1 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.6.2.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + x + 1 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.6.2.1.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + x + x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.1.6.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 ((- x^{2} + x) + x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.6.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (x (- x + 1) - 1 (- x + 1))}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.6.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 ((- x + 1) (x - 1))}}{2 \cdot 4}$

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x + 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.6.3

Associez les exposants.

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Étape 3.1.6.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x) + 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.6.3.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x) - 1 \cdot - 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.6.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x - 1)) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.6.3.4

Réécrivez $- (x - 1)$ comme $- 1 (x - 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- 1 (x - 1)) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.6.3.5

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.6.3.6

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.6.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{1 + 1})}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.6.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{2})}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.6.3.9

Multipliez $48$ par $- 1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{- 48 {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.7

Réécrivez $- 48 {(x - 1)}^{2}$ comme ${(4 (x - 1))}^{2} \cdot - 3$ .

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Étape 3.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $- 48$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{16 (- 3) {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (- 3 {(x - 1)}^{2})}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.7.3

Déplacez $- 3$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{4^{2} {(x - 1)}^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.7.4

Réécrivez $4^{2} {(x - 1)}^{2}$ comme ${(4 (x - 1))}^{2}$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{{(4 (x - 1))}^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) \sqrt{- 3}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.9

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.10

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.11

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.12

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{40 \pm (4 x + 4 \cdot - 1) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.13

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$y = \frac{40 \pm (4 x - 4) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.14

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{40 \pm (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{40 \pm (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{8}$

Étape 4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 40$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 4 \cdot (3 x^{2} - 6 x + 103)}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 16 \cdot (3 x^{2} - 6 x + 103)}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 16 (3 x^{2}) - 16 (- 6 x) - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Multipliez $3$ par $- 16$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} - 16 (- 6 x) - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.4.2

Multipliez $- 6$ par $- 16$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} + 96 x - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $- 16$ par $103$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} + 96 x - 1648}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.5

Soustrayez $1648$ de $1600$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{- 48 x^{2} + 96 x - 48}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.6

Réécrivez $- 48 x^{2} + 96 x - 48$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.6.1

Factorisez $48$ à partir de $- 48 x^{2} + 96 x - 48$ .

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Étape 4.1.6.1.1

Factorisez $48$ à partir de $- 48 x^{2}$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 96 x - 48}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.6.1.2

Factorisez $48$ à partir de $96 x$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (2 x) - 48}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.6.1.3

Factorisez $48$ à partir de $- 48$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (2 x) + 48 (- 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.6.1.4

Factorisez $48$ à partir de $48 (- x^{2}) + 48 (2 x)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 x) + 48 (- 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.6.1.5

Factorisez $48$ à partir de $48 (- x^{2} + 2 x) + 48 (- 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.6.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1.6.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 4.1.6.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 (x) - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.6.2.1.2

Réécrivez $2$ comme $1$ plus $1$

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + (1 + 1) x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 1 x + 1 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.6.2.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + x + 1 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.6.2.1.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + x + x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.1.6.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 ((- x^{2} + x) + x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.6.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (x (- x + 1) - 1 (- x + 1))}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.6.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 ((- x + 1) (x - 1))}}{2 \cdot 4}$

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x + 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.6.3

Associez les exposants.

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Étape 4.1.6.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x) + 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.6.3.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x) - 1 \cdot - 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.6.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x - 1)) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.6.3.4

Réécrivez $- (x - 1)$ comme $- 1 (x - 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- 1 (x - 1)) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.6.3.5

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.6.3.6

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.6.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{1 + 1})}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.6.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{2})}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.6.3.9

Multipliez $48$ par $- 1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{- 48 {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.7

Réécrivez $- 48 {(x - 1)}^{2}$ comme ${(4 (x - 1))}^{2} \cdot - 3$ .

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Étape 4.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $- 48$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{16 (- 3) {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (- 3 {(x - 1)}^{2})}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.7.3

Déplacez $- 3$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{4^{2} {(x - 1)}^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.7.4

Réécrivez $4^{2} {(x - 1)}^{2}$ comme ${(4 (x - 1))}^{2}$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{{(4 (x - 1))}^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) \sqrt{- 3}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.9

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.10

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.11

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.12

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{40 \pm (4 x + 4 \cdot - 1) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.13

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$y = \frac{40 \pm (4 x - 4) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.14

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{40 \pm (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{40 \pm (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{8}$

Étape 4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{40 + 4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun à $40 + 4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3}$ et $8$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $4$ à partir de $40$ .

$y = \frac{4 (10) + 4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 4.4.2

Factorisez $4$ à partir de $4 x i \sqrt{3}$ .

$y = \frac{4 (10) + 4 (x i \sqrt{3}) - 4 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 4.4.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4 i \sqrt{3}$ .

$y = \frac{4 (10) + 4 (x i \sqrt{3}) + 4 (- i \sqrt{3})}{8}$

Étape 4.4.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (x i \sqrt{3}) + 4 (- i \sqrt{3})$ .

$y = \frac{4 (10) + 4 (x i \sqrt{3} - i \sqrt{3})}{8}$

Étape 4.4.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (10) + 4 (x i \sqrt{3} - i \sqrt{3})$ .

$y = \frac{4 (10 + x i \sqrt{3} - i \sqrt{3})}{8}$

Étape 4.4.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.6.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{4 (10 + x i \sqrt{3} - i \sqrt{3})}{4 \cdot 2}$

Étape 4.4.6.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{4 (10 + x i \sqrt{3} - i \sqrt{3})}{4 \cdot 2}$

Étape 4.4.6.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{10 + x i \sqrt{3} - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{i x \sqrt{3} - i \sqrt{3} + 10}{2}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 40$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 4 \cdot (3 x^{2} - 6 x + 103)}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 16 \cdot (3 x^{2} - 6 x + 103)}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 16 (3 x^{2}) - 16 (- 6 x) - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Multipliez $3$ par $- 16$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} - 16 (- 6 x) - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.4.2

Multipliez $- 6$ par $- 16$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} + 96 x - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.4.3

Multipliez $- 16$ par $103$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} + 96 x - 1648}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.5

Soustrayez $1648$ de $1600$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{- 48 x^{2} + 96 x - 48}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.6

Réécrivez $- 48 x^{2} + 96 x - 48$ en forme factorisée.

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Étape 5.1.6.1

Factorisez $48$ à partir de $- 48 x^{2} + 96 x - 48$ .

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Étape 5.1.6.1.1

Factorisez $48$ à partir de $- 48 x^{2}$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 96 x - 48}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.6.1.2

Factorisez $48$ à partir de $96 x$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (2 x) - 48}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.6.1.3

Factorisez $48$ à partir de $- 48$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (2 x) + 48 (- 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.6.1.4

Factorisez $48$ à partir de $48 (- x^{2}) + 48 (2 x)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 x) + 48 (- 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.6.1.5

Factorisez $48$ à partir de $48 (- x^{2} + 2 x) + 48 (- 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.6.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1.6.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 5.1.6.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 (x) - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.6.2.1.2

Réécrivez $2$ comme $1$ plus $1$

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + (1 + 1) x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 1 x + 1 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.6.2.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + x + 1 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.6.2.1.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + x + x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.1.6.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 ((- x^{2} + x) + x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.6.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (x (- x + 1) - 1 (- x + 1))}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.6.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 ((- x + 1) (x - 1))}}{2 \cdot 4}$

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x + 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.6.3

Associez les exposants.

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Étape 5.1.6.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x) + 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.6.3.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x) - 1 \cdot - 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.6.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x - 1)) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.6.3.4

Réécrivez $- (x - 1)$ comme $- 1 (x - 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- 1 (x - 1)) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.6.3.5

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.6.3.6

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.6.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{1 + 1})}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.6.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{2})}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.6.3.9

Multipliez $48$ par $- 1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{- 48 {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.7

Réécrivez $- 48 {(x - 1)}^{2}$ comme ${(4 (x - 1))}^{2} \cdot - 3$ .

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Étape 5.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $- 48$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{16 (- 3) {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (- 3 {(x - 1)}^{2})}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.7.3

Déplacez $- 3$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{4^{2} {(x - 1)}^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.7.4

Réécrivez $4^{2} {(x - 1)}^{2}$ comme ${(4 (x - 1))}^{2}$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{{(4 (x - 1))}^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) \sqrt{- 3}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.9

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.10

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.11

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.12

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{40 \pm (4 x + 4 \cdot - 1) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.13

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$y = \frac{40 \pm (4 x - 4) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.14

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{40 \pm (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{40 \pm (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{8}$

Étape 5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{40 - (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{8}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun à $40 - (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})$ et $8$ .

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Étape 5.4.1

Réécrivez $40$ comme $- 1 (- 40)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot - 40 - (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{8}$

Étape 5.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 40) - (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})$ .

$y = \frac{- 1 (- 40 + 4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{8}$

Étape 5.4.3

Factorisez $4$ à partir de $- 1 (- 40 + 4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})$ .

$y = \frac{4 (- 1 (- 10 + x i \sqrt{3} - i \sqrt{3}))}{8}$

Étape 5.4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{4 (- 1 (- 10 + x i \sqrt{3} - i \sqrt{3}))}{4 (2)}$

Étape 5.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{4 (- 1 (- 10 + x i \sqrt{3} - i \sqrt{3}))}{4 \cdot 2}$

Étape 5.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- 1 (- 10 + x i \sqrt{3} - i \sqrt{3})}{2}$

Étape 5.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{- 1 (i x \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 10)}{2}$

Étape 5.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{i x \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 10}{2}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{i x \sqrt{3} - i \sqrt{3} + 10}{2}$

$y = - \frac{i x \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 10}{2}$

Étape 7

L’équation donnée $y = \frac{i x \sqrt{3} - i \sqrt{3} + 10}{2}, - \frac{i x \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 10}{2}$ ne peut pas être écrite comme $y = k x^{2}$ , si bien que $y$ ne varie pas directement avec $x^{2}$ .

$y$ ne varie pas directement avec $x$