Pré-algèbre Exemples

$3 x^{2} + y^{2} + 18 x - 2 y + 4 = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = 3 x^{2} + 18 x + 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (3 x^{2} + 18 x + 4))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (3 x^{2} + 18 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (3 x^{2} + 18 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 (3 x^{2}) - 4 (18 x) - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.4

Simplifiez

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 4 (18 x) - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $18$ par $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 72 x - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.4.3

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 72 x - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.5

Soustrayez $16$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 12 x^{2} - 72 x - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6

Factorisez $12$ à partir de $- 12 x^{2} - 72 x - 12$ .

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Étape 3.1.6.1

Factorisez $12$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) - 72 x - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2

Factorisez $12$ à partir de $- 72 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x) - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.3

Factorisez $12$ à partir de $- 12$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x) + 12 (- 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.4

Factorisez $12$ à partir de $12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2} - 6 x) + 12 (- 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.5

Factorisez $12$ à partir de $12 (- x^{2} - 6 x) + 12 (- 1)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.7

Réécrivez $12 (- x^{2} - 6 x - 1)$ comme $2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))$ .

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Étape 3.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3) (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.7.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}$

Étape 4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (3 x^{2} + 18 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (3 x^{2} + 18 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 (3 x^{2}) - 4 (18 x) - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 4 (18 x) - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4.2

Multipliez $18$ par $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 72 x - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 72 x - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5

Soustrayez $16$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 12 x^{2} - 72 x - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6

Factorisez $12$ à partir de $- 12 x^{2} - 72 x - 12$ .

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Étape 4.1.6.1

Factorisez $12$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) - 72 x - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.2

Factorisez $12$ à partir de $- 72 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x) - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.3

Factorisez $12$ à partir de $- 12$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x) + 12 (- 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.4

Factorisez $12$ à partir de $12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2} - 6 x) + 12 (- 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.5

Factorisez $12$ à partir de $12 (- x^{2} - 6 x) + 12 (- 1)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.7

Réécrivez $12 (- x^{2} - 6 x - 1)$ comme $2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))$ .

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Étape 4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3) (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.7.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}$

Étape 4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = 1 + \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (3 x^{2} + 18 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (3 x^{2} + 18 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 (3 x^{2}) - 4 (18 x) - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 4 (18 x) - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4.2

Multipliez $18$ par $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 72 x - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4.3

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 72 x - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5

Soustrayez $16$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 12 x^{2} - 72 x - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6

Factorisez $12$ à partir de $- 12 x^{2} - 72 x - 12$ .

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Étape 5.1.6.1

Factorisez $12$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) - 72 x - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2

Factorisez $12$ à partir de $- 72 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x) - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.3

Factorisez $12$ à partir de $- 12$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x) + 12 (- 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.4

Factorisez $12$ à partir de $12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2} - 6 x) + 12 (- 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.5

Factorisez $12$ à partir de $12 (- x^{2} - 6 x) + 12 (- 1)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.7

Réécrivez $12 (- x^{2} - 6 x - 1)$ comme $2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))$ .

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Étape 5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3) (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.7.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}$

Étape 5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = 1 - \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 1 + \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}$

$y = 1 - \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}$

Étape 7

L’équation donnée $y = 1 + \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}, 1 - \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}$ ne peut pas être écrite comme $y = k x^{2}$ , si bien que $y$ ne varie pas directement avec $x^{2}$ .

$y$ ne varie pas directement avec $x$