Pré-algèbre Exemples

$f (x) = - 2 x^{4} + 25 x^{3} - 95 x^{2} + 90 x + 72$

Étape 1

Vérifiez le coefficient directeur de la fonction. Ce nombre est le coefficient de l’expression avec le plus haut degré.

Plus grand degré : $4$

Coefficient directeur : $- 2$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (x) = \frac{- 2 x^{4}}{- 2} + \frac{25 x^{3}}{- 2} + \frac{- 95 x^{2}}{- 2} + \frac{90 x}{- 2} + \frac{72}{- 2}$

Étape 2.1.2

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$f (x) = x^{4} + \frac{25 x^{3}}{- 2} + \frac{- 95 x^{2}}{- 2} + \frac{90 x}{- 2} + \frac{72}{- 2}$

Étape 2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (x) = x^{4} - \frac{25 x^{3}}{2} + \frac{- 95 x^{2}}{- 2} + \frac{90 x}{- 2} + \frac{72}{- 2}$

Étape 2.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$f (x) = x^{4} - \frac{25 x^{3}}{2} + \frac{95 x^{2}}{2} + \frac{90 x}{- 2} + \frac{72}{- 2}$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun à $90$ et $- 2$ .

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Étape 2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $90 x$ .

$f (x) = x^{4} - \frac{25 x^{3}}{2} + \frac{95 x^{2}}{2} + \frac{2 (45 x)}{- 2} + \frac{72}{- 2}$

Étape 2.4.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{45 x}{- 1}$ .

$f (x) = x^{4} - \frac{25 x^{3}}{2} + \frac{95 x^{2}}{2} - 1 \cdot (45 x) + \frac{72}{- 2}$

Étape 2.5

Réécrivez $- 1 \cdot (45 x)$ comme $- (45 x)$ .

$f (x) = x^{4} - \frac{25 x^{3}}{2} + \frac{95 x^{2}}{2} - (45 x) + \frac{72}{- 2}$

Étape 2.6

Multipliez $45$ par $- 1$ .

$f (x) = x^{4} - \frac{25 x^{3}}{2} + \frac{95 x^{2}}{2} - 45 x + \frac{72}{- 2}$

Étape 2.7

Divisez $72$ par $- 2$ .

$f (x) = x^{4} - \frac{25 x^{3}}{2} + \frac{95 x^{2}}{2} - 45 x - 36$

Étape 3

Créez une liste des coefficients de la fonction à l’exception du coefficient directeur de $1$ .

$- \frac{25}{2}, \frac{95}{2}, - 45, - 36$

Étape 4

Il va y avoir deux options de bornes, $b_{1}$ et $b_{2}$ , dont la plus petite est la réponse. Pour calculer la première option de borne, déterminez la valeur absolue du plus grand coefficient parmi la liste des coefficients. Ajoutez ensuite $1$ .

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Étape 4.1

Classez les termes par ordre croissant.

$b_{1} = | - \frac{25}{2} |, | - 36 |, | - 45 |, | \frac{95}{2} |$

Étape 4.2

La valeur maximale est la plus grande valeur dans l’ensemble de données ordonné.

$b_{1} = | \frac{95}{2} |$

Étape 4.3

$\frac{95}{2}$ est d’environ $47.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$b_{1} = \frac{95}{2} + 1$

Étape 4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$b_{1} = \frac{95}{2} + \frac{2}{2}$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$b_{1} = \frac{95 + 2}{2}$

Étape 4.6

Additionnez $95$ et $2$ .

$b_{1} = \frac{97}{2}$

Étape 5

Pour calculer la deuxième option de borne, additionnez les valeurs absolues des coefficients depuis la liste des coefficients. Si la somme est supérieure à $1$ , utilisez ce nombre. Si ce n’est pas le cas, utilisez $1$ .

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

$- \frac{25}{2}$ est d’environ $- 12.5$ qui est négatif, alors inversez $- \frac{25}{2}$ et retirez la valeur absolue

$b_{2} = \frac{25}{2} + | \frac{95}{2} | + | - 45 | + | - 36 |$

Étape 5.1.2

$\frac{95}{2}$ est d’environ $47.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$b_{2} = \frac{25}{2} + \frac{95}{2} + | - 45 | + | - 36 |$

Étape 5.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 45$ et $0$ est $45$ .

$b_{2} = \frac{25}{2} + \frac{95}{2} + 45 + | - 36 |$

Étape 5.1.4

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 36$ et $0$ est $36$ .

$b_{2} = \frac{25}{2} + \frac{95}{2} + 45 + 36$

Étape 5.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$b_{2} = 45 + 36 + \frac{25 + 95}{2}$

Étape 5.2.2

Additionnez $25$ et $95$ .

$b_{2} = 45 + 36 + \frac{120}{2}$

Étape 5.3

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 5.3.1

Écrivez $45$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$b_{2} = \frac{45}{1} + 36 + \frac{120}{2}$

Étape 5.3.2

Multipliez $\frac{45}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$b_{2} = \frac{45}{1} \cdot \frac{2}{2} + 36 + \frac{120}{2}$

Étape 5.3.3

Multipliez $\frac{45}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$b_{2} = \frac{45 \cdot 2}{2} + 36 + \frac{120}{2}$

Étape 5.3.4

Écrivez $36$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$b_{2} = \frac{45 \cdot 2}{2} + \frac{36}{1} + \frac{120}{2}$

Étape 5.3.5

Multipliez $\frac{36}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$b_{2} = \frac{45 \cdot 2}{2} + \frac{36}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{120}{2}$

Étape 5.3.6

Multipliez $\frac{36}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$b_{2} = \frac{45 \cdot 2}{2} + \frac{36 \cdot 2}{2} + \frac{120}{2}$

Étape 5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$b_{2} = \frac{45 \cdot 2 + 36 \cdot 2 + 120}{2}$

Étape 5.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1

Multipliez $45$ par $2$ .

$b_{2} = \frac{90 + 36 \cdot 2 + 120}{2}$

Étape 5.5.2

Multipliez $36$ par $2$ .

$b_{2} = \frac{90 + 72 + 120}{2}$

Étape 5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.6.1

Additionnez $90$ et $72$ .

$b_{2} = \frac{162 + 120}{2}$

Étape 5.6.2

Additionnez $162$ et $120$ .

$b_{2} = \frac{282}{2}$

Étape 5.6.3

Divisez $282$ par $2$ .

$b_{2} = 141$

Étape 5.7

Classez les termes par ordre croissant.

$b_{2} = 1, 141$

Étape 5.8

La valeur maximale est la plus grande valeur dans l’ensemble de données ordonné.

$b_{2} = 141$

Étape 6

Prenez l’option de la plus petite borne entre $b_{1} = \frac{97}{2}$ et $b_{2} = 141$ .

Plus petite borne : $\frac{97}{2}$

Étape 7

Toutes les racines réelles sur $f (x) = - 2 x^{4} + 25 x^{3} - 95 x^{2} + 90 x + 72$ sont comprises entre $- \frac{97}{2}$ et $\frac{97}{2}$ .

$- \frac{97}{2}$ et $\frac{97}{2}$