Pré-algèbre Exemples

$f (x) = 4 x^{3} - x^{2} - 256 x + 64$

Étape 1

Vérifiez le coefficient directeur de la fonction. Ce nombre est le coefficient de l’expression avec le plus haut degré.

Plus grand degré : $3$

Coefficient directeur : $4$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{- x^{2}}{4} + \frac{- 256 x}{4} + \frac{64}{4}$

Étape 2.1.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$f (x) = x^{3} + \frac{- x^{2}}{4} + \frac{- 256 x}{4} + \frac{64}{4}$

Étape 2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 256 x}{4} + \frac{64}{4}$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun à $- 256$ et $4$ .

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Étape 2.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 256 x$ .

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (- 64 x)}{4} + \frac{64}{4}$

Étape 2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (- 64 x)}{4 (1)} + \frac{64}{4}$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (- 64 x)}{4 \cdot 1} + \frac{64}{4}$

Étape 2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 64 x}{1} + \frac{64}{4}$

Étape 2.3.2.4

Divisez $- 64 x$ par $1$ .

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{4} - 64 x + \frac{64}{4}$

Étape 2.4

Divisez $64$ par $4$ .

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{4} - 64 x + 16$

Étape 3

Créez une liste des coefficients de la fonction à l’exception du coefficient directeur de $1$ .

$- \frac{1}{4}, - 64, 16$

Étape 4

Il va y avoir deux options de bornes, $b_{1}$ et $b_{2}$ , dont la plus petite est la réponse. Pour calculer la première option de borne, déterminez la valeur absolue du plus grand coefficient parmi la liste des coefficients. Ajoutez ensuite $1$ .

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Étape 4.1

Classez les termes par ordre croissant.

$b_{1} = | - \frac{1}{4} |, | 16 |, | - 64 |$

Étape 4.2

La valeur maximale est la plus grande valeur dans l’ensemble de données ordonné.

$b_{1} = | - 64 |$

Étape 4.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 64$ et $0$ est $64$ .

$b_{1} = 64 + 1$

Étape 4.4

Additionnez $64$ et $1$ .

$b_{1} = 65$

Étape 5

Pour calculer la deuxième option de borne, additionnez les valeurs absolues des coefficients depuis la liste des coefficients. Si la somme est supérieure à $1$ , utilisez ce nombre. Si ce n’est pas le cas, utilisez $1$ .

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

$- \frac{1}{4}$ est d’environ $- 0.25$ qui est négatif, alors inversez $- \frac{1}{4}$ et retirez la valeur absolue

$b_{2} = \frac{1}{4} + | - 64 | + | 16 |$

Étape 5.1.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 64$ et $0$ est $64$ .

$b_{2} = \frac{1}{4} + 64 + | 16 |$

Étape 5.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $16$ est $16$ .

$b_{2} = \frac{1}{4} + 64 + 16$

Étape 5.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 5.2.1

Écrivez $64$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$b_{2} = \frac{1}{4} + \frac{64}{1} + 16$

Étape 5.2.2

Multipliez $\frac{64}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$b_{2} = \frac{1}{4} + \frac{64}{1} \cdot \frac{4}{4} + 16$

Étape 5.2.3

Multipliez $\frac{64}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$b_{2} = \frac{1}{4} + \frac{64 \cdot 4}{4} + 16$

Étape 5.2.4

Écrivez $16$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$b_{2} = \frac{1}{4} + \frac{64 \cdot 4}{4} + \frac{16}{1}$

Étape 5.2.5

Multipliez $\frac{16}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$b_{2} = \frac{1}{4} + \frac{64 \cdot 4}{4} + \frac{16}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 5.2.6

Multipliez $\frac{16}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$b_{2} = \frac{1}{4} + \frac{64 \cdot 4}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4}$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$b_{2} = \frac{1 + 64 \cdot 4 + 16 \cdot 4}{4}$

Étape 5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1

Multipliez $64$ par $4$ .

$b_{2} = \frac{1 + 256 + 16 \cdot 4}{4}$

Étape 5.4.2

Multipliez $16$ par $4$ .

$b_{2} = \frac{1 + 256 + 64}{4}$

Étape 5.5

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 5.5.1

Additionnez $1$ et $256$ .

$b_{2} = \frac{257 + 64}{4}$

Étape 5.5.2

Additionnez $257$ et $64$ .

$b_{2} = \frac{321}{4}$

Étape 5.6

Classez les termes par ordre croissant.

$b_{2} = 1, \frac{321}{4}$

Étape 5.7

La valeur maximale est la plus grande valeur dans l’ensemble de données ordonné.

$b_{2} = \frac{321}{4}$

Étape 6

Prenez l’option de la plus petite borne entre $b_{1} = 65$ et $b_{2} = \frac{321}{4}$ .

Plus petite borne : $65$

Étape 7

Toutes les racines réelles sur $f (x) = 4 x^{3} - x^{2} - 256 x + 64$ sont comprises entre $- 65$ et $65$ .

$- 65$ et $65$