Pré-algèbre Exemples

$2 y^{6} - 5 y^{3} + 5$ , $- (8 y^{6} + 15 y^{3} + 6)$

Étape 1

Regroupez les termes.

$2 y^{6} - (8 y^{6} + 15 y^{3} + 6) - 5 y^{3} + 5$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$2 y^{6} - (8 y^{6}) - (15 y^{3}) - 1 \cdot 6 - 5 y^{3} + 5$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$2 y^{6} - 8 y^{6} - (15 y^{3}) - 1 \cdot 6 - 5 y^{3} + 5$

Étape 3.2

Multipliez $15$ par $- 1$ .

$2 y^{6} - 8 y^{6} - 15 y^{3} - 1 \cdot 6 - 5 y^{3} + 5$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$2 y^{6} - 8 y^{6} - 15 y^{3} - 6 - 5 y^{3} + 5$

Étape 4

Soustrayez $8 y^{6}$ de $2 y^{6}$ .

$- 6 y^{6} - 15 y^{3} - 6 - 5 y^{3} + 5$

Étape 5

Réécrivez $- 6 y^{6} - 15 y^{3} - 6$ en forme factorisée.

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Étape 5.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 6 y^{6} - 15 y^{3} - 6$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 6 y^{6}$ .

$- 3 (2 y^{6}) - 15 y^{3} - 6 - 5 y^{3} + 5$

Étape 5.1.2

Factorisez $- 3$ à partir de $- 15 y^{3}$ .

$- 3 (2 y^{6}) - 3 (5 y^{3}) - 6 - 5 y^{3} + 5$

Étape 5.1.3

Factorisez $- 3$ à partir de $- 6$ .

$- 3 (2 y^{6}) - 3 (5 y^{3}) - 3 (2) - 5 y^{3} + 5$

Étape 5.1.4

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 (2 y^{6}) - 3 (5 y^{3})$ .

$- 3 (2 y^{6} + 5 y^{3}) - 3 (2) - 5 y^{3} + 5$

Étape 5.1.5

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 (2 y^{6} + 5 y^{3}) - 3 (2)$ .

$- 3 (2 y^{6} + 5 y^{3} + 2) - 5 y^{3} + 5$

Étape 5.2

Réécrivez $y^{6}$ comme ${(y^{3})}^{2}$ .

$- 3 (2 {(y^{3})}^{2} + 5 y^{3} + 2) - 5 y^{3} + 5$

Étape 5.3

Laissez $u = y^{3}$ . Remplacez toutes les occurrences de $y^{3}$ par $u$ .

$- 3 (2 u^{2} + 5 u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Étape 5.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ et dont la somme est $b = 5$ .

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Étape 5.4.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 u$ .

$- 3 (2 u^{2} + 5 (u) + 2) - 5 y^{3} + 5$

Étape 5.4.1.2

Réécrivez $5$ comme $1$ plus $4$

$- 3 (2 u^{2} + (1 + 4) u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Étape 5.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 (2 u^{2} + 1 u + 4 u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Étape 5.4.1.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$- 3 (2 u^{2} + u + 4 u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Étape 5.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- 3 ((2 u^{2} + u) + 4 u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Étape 5.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- 3 (u (2 u + 1) + 2 (2 u + 1)) - 5 y^{3} + 5$

Étape 5.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u + 1$ .

$- 3 ((2 u + 1) (u + 2)) - 5 y^{3} + 5$

Étape 5.5

Factorisez.

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Étape 5.5.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{3}$ .

$- 3 ((2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)) - 5 y^{3} + 5$

Étape 5.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 y^{3} + 5$

Étape 6

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 y^{3} + 5$ .

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Étape 6.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 y^{3}$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y^{3}) + 5$

Étape 6.2

Factorisez $- 5$ à partir de $5$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y^{3}) - 5 (- 1)$

Étape 6.3

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 (y^{3}) - 5 (- 1)$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y^{3} - 1)$

Étape 7

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y^{3} - 1^{3})$

Étape 8

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = y$ et $b = 1$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 ((y - 1) (y^{2} + y \cdot 1 + 1^{2}))$

Étape 9

Factorisez.

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Étape 9.1

Simplifiez

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Étape 9.1.1

Multipliez $y$ par $1$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 ((y - 1) (y^{2} + y + 1^{2}))$

Étape 9.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 ((y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Étape 9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1)$

Étape 10

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ .

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Étape 10.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)$ .

$- (3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)) - 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1)$

Étape 10.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ .

$- (3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)) - (5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Étape 10.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)) - (5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$ .

$- (3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Étape 11

Appliquez la propriété distributive.

$- ((3 (2 y^{3}) + 3 \cdot 1) (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Étape 12

Multipliez $2$ par $3$ .

$- ((6 y^{3} + 3 \cdot 1) (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Étape 13

Multipliez $3$ par $1$ .

$- ((6 y^{3} + 3) (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Étape 14

Développez $(6 y^{3} + 3) (y^{3} + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 14.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (6 y^{3} (y^{3} + 2) + 3 (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Étape 14.2

Appliquez la propriété distributive.

$- (6 y^{3} y^{3} + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Étape 14.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (6 y^{3} y^{3} + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Étape 15

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Multipliez $y^{3}$ par $y^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.1.1.1

Déplacez $y^{3}$ .

$- (6 (y^{3} y^{3}) + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Étape 15.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- (6 y^{3 + 3} + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Étape 15.1.1.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$- (6 y^{6} + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Étape 15.1.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$- (6 y^{6} + 12 y^{3} + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Étape 15.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$- (6 y^{6} + 12 y^{3} + 3 y^{3} + 6 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Étape 15.2

Additionnez $12 y^{3}$ et $3 y^{3}$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Étape 16

Appliquez la propriété distributive.

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + (5 y + 5 \cdot - 1) (y^{2} + y + 1))$

Étape 17

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + (5 y - 5) (y^{2} + y + 1))$

Étape 18

Développez $(5 y - 5) (y^{2} + y + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y \cdot y^{2} + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Étape 19

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.1

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 19.1.1

Déplacez $y^{2}$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 (y^{2} y) + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Étape 19.1.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 19.1.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 (y^{2} y^{1}) + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Étape 19.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{2 + 1} + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Étape 19.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Étape 19.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 19.2.1

Déplacez $y$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 (y \cdot y) + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Étape 19.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y^{2} + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Étape 19.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y^{2} + 5 y - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Étape 19.4

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y^{2} + 5 y - 5 y^{2} - 5 y - 5)$

Étape 20

Associez les termes opposés dans $5 y^{3} + 5 y^{2} + 5 y - 5 y^{2} - 5 y - 5$ .

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Étape 20.1

Soustrayez $5 y^{2}$ de $5 y^{2}$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y + 0 - 5 y - 5)$

Étape 20.2

Additionnez $5 y^{3} + 5 y$ et $0$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y - 5 y - 5)$

Étape 20.3

Soustrayez $5 y$ de $5 y$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 0 - 5)$

Étape 20.4

Additionnez $5 y^{3}$ et $0$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} - 5)$

Étape 21

Additionnez $15 y^{3}$ et $5 y^{3}$ .

$- (6 y^{6} + 20 y^{3} + 6 - 5)$

Étape 22

Soustrayez $5$ de $6$ .

$- (6 y^{6} + 20 y^{3} + 1)$

Étape 23

Le plus grand facteur commun $GCF$ est le terme devant l’expression factorisée.

$- 1$