Pré-algèbre Exemples

$x (x - 2) \leq x (2 x + 6)$

Étape 1

Simplifiez $x (x - 2)$ .

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Étape 1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + x (x - 2) \leq x (2 x + 6)$

Étape 1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$x (x - 2) \leq x (2 x + 6)$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 2 \leq x (2 x + 6)$

Étape 1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 \leq x (2 x + 6)$

Étape 1.4.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 2 x \leq x (2 x + 6)$

Étape 2

Simplifiez $x (2 x + 6)$ .

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Étape 2.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 2 x \leq x (2 x) + x \cdot 6$

Étape 2.1.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} - 2 x \leq 2 x \cdot x + x \cdot 6$

Étape 2.1.2.2

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 2 x \leq 2 x \cdot x + 6 \cdot x$

Étape 2.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1

Déplacez $x$ .

$x^{2} - 2 x \leq 2 (x \cdot x) + 6 \cdot x$

Étape 2.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} - 2 x \leq 2 x^{2} + 6 \cdot x$

$x^{2} - 2 x \leq 2 x^{2} + 6 x$

Étape 3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 3.1

Soustrayez $2 x^{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} - 2 x - 2 x^{2} \leq 6 x$

Étape 3.2

Soustrayez $6 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 6 x \leq 0$

Étape 3.3

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- x^{2} - 2 x - 6 x \leq 0$

Étape 3.4

Soustrayez $6 x$ de $- 2 x$ .

$- x^{2} - 8 x \leq 0$

Étape 4

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- x^{2} - 8 x = 0$

Étape 5

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{2} - 8 x$ .

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Étape 5.1

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{2}$ .

$- x \cdot x - 8 x = 0$

Étape 5.2

Factorisez $- x$ à partir de $- 8 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot 8 = 0$

Étape 5.3

Factorisez $- x$ à partir de $- x (x) - x (8)$ .

$- x (x + 8) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 8 = 0$

Étape 7

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 8

Définissez $x + 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x + 8$ égal à $0$ .

$x + 8 = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 8$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- x (x + 8) = 0$ vraie.

$x = 0, - 8$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 8$

$- 8 < x < 0$

$x > 0$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 10$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 10$ dans l’inégalité d’origine.

$(- 10) ((- 10) - 2) \leq (- 10) (2 (- 10) + 6)$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $120$ est inférieur au côté droit $140$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 8 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 8 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$(- 4) ((- 4) - 2) \leq (- 4) (2 (- 4) + 6)$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $24$ est supérieur au côté droit $8$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$(2) ((2) - 2) \leq (2) (2 (2) + 6)$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $20$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 8$ Vrai

$- 8 < x < 0$ Faux

$x > 0$ Vrai

$x < - 8$ Vrai

$- 8 < x < 0$ Faux

$x > 0$ Vrai

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 8$ ou $x \geq 0$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x \leq - 8 or x \geq 0$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 8] \cup [0, \infty)$

Étape 14