Pré-algèbre Exemples

$(8, 2)$ , $(5, 7)$

Étape 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Find the dot product.

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Étape 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 8 \cdot 5 + 2 \cdot 7$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $8$ par $5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 40 + 2 \cdot 7$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 40 + 14$

Étape 2.2.2

Additionnez $40$ et $14$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 54$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de $a⃗$ .

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Étape 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{8^{2} + 2^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{64 + 2^{2}}$

Étape 3.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{64 + 4}$

Étape 3.2.3

Additionnez $64$ et $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{68}$

Étape 3.2.4

Réécrivez $68$ comme $2^{2} \cdot 17$ .

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Étape 3.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $68$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 (17)}$

Étape 3.2.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 17}$

Étape 3.2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| a⃗ | = 2 \sqrt{17}$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de $b⃗$ .

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Étape 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} + 7^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 7^{2}}$

Étape 4.2.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 49}$

Étape 4.2.3

Additionnez $25$ et $49$ .

$| b⃗ | = \sqrt{74}$

Étape 5

Remplacez les valeurs dans la formule.

$θ = \arccos (\frac{54}{2 \sqrt{17} \sqrt{74}})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à $54$ et $2$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $54$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 27}{2 \sqrt{17} \sqrt{74}})$

Étape 6.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{17} \sqrt{74}$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 27}{2 (\sqrt{17} \sqrt{74})})$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 27}{2 (\sqrt{17} \sqrt{74})})$

Étape 6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{27}{\sqrt{17} \sqrt{74}})$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$θ = \arccos (\frac{27}{\sqrt{17 \cdot 74}})$

Étape 6.2.2

Multipliez $17$ par $74$ .

$θ = \arccos (\frac{27}{\sqrt{1258}})$

Étape 6.3

Multipliez $\frac{27}{\sqrt{1258}}$ par $\frac{\sqrt{1258}}{\sqrt{1258}}$ .

$θ = \arccos (\frac{27}{\sqrt{1258}} \cdot \frac{\sqrt{1258}}{\sqrt{1258}})$

Étape 6.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.4.1

Multipliez $\frac{27}{\sqrt{1258}}$ par $\frac{\sqrt{1258}}{\sqrt{1258}}$ .

$θ = \arccos (\frac{27 \sqrt{1258}}{\sqrt{1258} \sqrt{1258}})$

Étape 6.4.2

Élevez $\sqrt{1258}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{27 \sqrt{1258}}{{\sqrt{1258}}^{1} \sqrt{1258}})$

Étape 6.4.3

Élevez $\sqrt{1258}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{27 \sqrt{1258}}{{\sqrt{1258}}^{1} {\sqrt{1258}}^{1}})$

Étape 6.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arccos (\frac{27 \sqrt{1258}}{{\sqrt{1258}}^{1 + 1}})$

Étape 6.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ = \arccos (\frac{27 \sqrt{1258}}{{\sqrt{1258}}^{2}})$

Étape 6.4.6

Réécrivez ${\sqrt{1258}}^{2}$ comme $1258$ .

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Étape 6.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1258}$ comme $1258^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{27 \sqrt{1258}}{{(1258^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 6.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{27 \sqrt{1258}}{1258^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 6.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$θ = \arccos (\frac{27 \sqrt{1258}}{1258^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{27 \sqrt{1258}}{1258^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{27 \sqrt{1258}}{1258^{1}})$

Étape 6.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arccos (\frac{27 \sqrt{1258}}{1258})$

Étape 6.5

Évaluez $\arccos (\frac{27 \sqrt{1258}}{1258})$ .

$θ = 40.42607874$