Pré-algèbre Exemples

$(4, 3)$ , $(- 1, 6)$

Étape 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Find the dot product.

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Étape 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 4 \cdot - 1 + 3 \cdot 6$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4 + 3 \cdot 6$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $3$ par $6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4 + 18$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 4$ et $18$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 14$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de $a⃗$ .

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Étape 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{4^{2} + 3^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{16 + 3^{2}}$

Étape 3.2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{16 + 9}$

Étape 3.2.3

Additionnez $16$ et $9$ .

$| a⃗ | = \sqrt{25}$

Étape 3.2.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5^{2}}$

Étape 3.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| a⃗ | = 5$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de $b⃗$ .

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Étape 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 6^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 6^{2}}$

Étape 4.2.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 36}$

Étape 4.2.3

Additionnez $1$ et $36$ .

$| b⃗ | = \sqrt{37}$

Étape 5

Remplacez les valeurs dans la formule.

$θ = \arccos (\frac{14}{5 \sqrt{37}})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{14}{5 \sqrt{37}}$ par $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$θ = \arccos (\frac{14}{5 \sqrt{37}} \cdot \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}})$

Étape 6.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Multipliez $\frac{14}{5 \sqrt{37}}$ par $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \sqrt{37} \sqrt{37}})$

Étape 6.2.2

Déplacez $\sqrt{37}$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 (\sqrt{37} \sqrt{37})})$

Étape 6.2.3

Élevez $\sqrt{37}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 ({\sqrt{37}}^{1} \sqrt{37})})$

Étape 6.2.4

Élevez $\sqrt{37}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 ({\sqrt{37}}^{1} {\sqrt{37}}^{1})})$

Étape 6.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 {\sqrt{37}}^{1 + 1}})$

Étape 6.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 {\sqrt{37}}^{2}})$

Étape 6.2.7

Réécrivez ${\sqrt{37}}^{2}$ comme $37$ .

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Étape 6.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{37}$ comme $37^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 {(37^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 6.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \cdot 37^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 6.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \cdot 37^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \cdot 37^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \cdot 37^{1}})$

Étape 6.2.7.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \cdot 37})$

Étape 6.3

Multipliez $5$ par $37$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{185})$

Étape 6.4

Évaluez $\arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{185})$ .

$θ = 62.59242456$