Pré-algèbre Exemples

$(- 3, 8)$ , $(2, - 2)$

Étape 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Find the dot product.

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Étape 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3 \cdot 2 + 8 \cdot - 2$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 6 + 8 \cdot - 2$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $8$ par $- 2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 6 - 16$

Étape 2.2.2

Soustrayez $16$ de $- 6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 22$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de $a⃗$ .

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Étape 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 8^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 8^{2}}$

Étape 3.2.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 64}$

Étape 3.2.3

Additionnez $9$ et $64$ .

$| a⃗ | = \sqrt{73}$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de $b⃗$ .

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Étape 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + {(- 2)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 4}$

Étape 4.2.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$| b⃗ | = \sqrt{8}$

Étape 4.2.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 (2)}$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Étape 4.2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| b⃗ | = 2 \sqrt{2}$

Étape 5

Remplacez les valeurs dans la formule.

$θ = \arccos (\frac{- 22}{\sqrt{73} (2 \sqrt{2})})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à $- 22$ et $2$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 22$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 11}{\sqrt{73} (2 \sqrt{2})})$

Étape 6.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $\sqrt{73} (2 \sqrt{2})$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 11}{2 (\sqrt{73} (\sqrt{2}))})$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 11}{2 (\sqrt{73} (\sqrt{2}))})$

Étape 6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{- 11}{\sqrt{73} (\sqrt{2})})$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$θ = \arccos (\frac{- 11}{\sqrt{73 \cdot 2}})$

Étape 6.2.2

Multipliez $73$ par $2$ .

$θ = \arccos (\frac{- 11}{\sqrt{146}})$

Étape 6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$θ = \arccos (- \frac{11}{\sqrt{146}})$

Étape 6.4

Multipliez $\frac{11}{\sqrt{146}}$ par $\frac{\sqrt{146}}{\sqrt{146}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{11}{\sqrt{146}} \cdot \frac{\sqrt{146}}{\sqrt{146}}))$

Étape 6.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.5.1

Multipliez $\frac{11}{\sqrt{146}}$ par $\frac{\sqrt{146}}{\sqrt{146}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{\sqrt{146} \sqrt{146}})$

Étape 6.5.2

Élevez $\sqrt{146}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{{\sqrt{146}}^{1} \sqrt{146}})$

Étape 6.5.3

Élevez $\sqrt{146}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{{\sqrt{146}}^{1} {\sqrt{146}}^{1}})$

Étape 6.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{{\sqrt{146}}^{1 + 1}})$

Étape 6.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{{\sqrt{146}}^{2}})$

Étape 6.5.6

Réécrivez ${\sqrt{146}}^{2}$ comme $146$ .

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Étape 6.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{146}$ comme $146^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{{(146^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 6.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{146^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 6.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{146^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{146^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{146^{1}})$

Étape 6.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{146})$

Étape 6.6

Évaluez $\arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{146})$ .

$θ = 155.55604521$