Pré-algèbre Exemples

$(- 3, - 3)$ , $(3, - 1)$

Étape 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Find the dot product.

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Étape 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3 \cdot 3 - 3 \cdot - 1$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 9 - 3 \cdot - 1$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 9 + 3$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 9$ et $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 6$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de $a⃗$ .

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Étape 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + {(- 3)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 9}$

Étape 3.2.3

Additionnez $9$ et $9$ .

$| a⃗ | = \sqrt{18}$

Étape 3.2.4

Réécrivez $18$ comme $3^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.2.4.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 (2)}$

Étape 3.2.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Étape 3.2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| a⃗ | = 3 \sqrt{2}$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de $b⃗$ .

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Étape 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + {(- 1)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 1}$

Étape 4.2.3

Additionnez $9$ et $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{10}$

Étape 5

Remplacez les valeurs dans la formule.

$θ = \arccos (\frac{- 6}{3 \sqrt{2} \sqrt{10}})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $3$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 2}{3 \sqrt{2} \sqrt{10}})$

Étape 6.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt{2} \sqrt{10}$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 2}{3 (\sqrt{2} \sqrt{10})})$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 2}{3 (\sqrt{2} \sqrt{10})})$

Étape 6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{- 2}{\sqrt{2} \sqrt{10}})$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$θ = \arccos (\frac{- 2}{\sqrt{2 \cdot 10}})$

Étape 6.2.2

Multipliez $2$ par $10$ .

$θ = \arccos (\frac{- 2}{\sqrt{20}})$

Étape 6.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.1

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 6.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$θ = \arccos (\frac{- 2}{\sqrt{4 (5)}})$

Étape 6.3.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 2}{\sqrt{2^{2} \cdot 5}})$

Étape 6.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$θ = \arccos (\frac{- 2}{2 \sqrt{5}})$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 \sqrt{5}})$

Étape 6.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{5}$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (\sqrt{5})})$

Étape 6.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 \sqrt{5}})$

Étape 6.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{5}})$

Étape 6.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$θ = \arccos (- \frac{1}{\sqrt{5}})$

Étape 6.6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}))$

Étape 6.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Étape 6.7.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Étape 6.7.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Étape 6.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Étape 6.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Étape 6.7.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 6.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 6.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 6.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{5^{1}})$

Étape 6.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{5})$

Étape 6.8

Évaluez $\arccos (- \frac{\sqrt{5}}{5})$ .

$θ = 116.56505117$