Pré-algèbre Exemples

$(- 2, 3)$ , $(5, 3)$

Étape 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Find the dot product.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 \cdot 5 + 3 \cdot 3$

Étape 2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 10 + 3 \cdot 3$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 10 + 9$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 10$ et $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 1$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de $a⃗$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 3^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3^{2}}$

Étape 3.2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 9}$

Étape 3.2.3

Additionnez $4$ et $9$ .

$| a⃗ | = \sqrt{13}$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de $b⃗$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} + 3^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 3^{2}}$

Étape 4.2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 9}$

Étape 4.2.3

Additionnez $25$ et $9$ .

$| b⃗ | = \sqrt{34}$

Étape 5

Remplacez les valeurs dans la formule.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{13} \sqrt{34}})$

Étape 6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{13 \cdot 34}})$

Étape 6.1.2

Multipliez $13$ par $34$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{442}})$

Étape 6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$θ = \arccos (- \frac{1}{\sqrt{442}})$

Étape 6.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{442}}$ par $\frac{\sqrt{442}}{\sqrt{442}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{1}{\sqrt{442}} \cdot \frac{\sqrt{442}}{\sqrt{442}}))$

Étape 6.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{442}}$ par $\frac{\sqrt{442}}{\sqrt{442}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{\sqrt{442} \sqrt{442}})$

Étape 6.4.2

Élevez $\sqrt{442}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{{\sqrt{442}}^{1} \sqrt{442}})$

Étape 6.4.3

Élevez $\sqrt{442}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{{\sqrt{442}}^{1} {\sqrt{442}}^{1}})$

Étape 6.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{{\sqrt{442}}^{1 + 1}})$

Étape 6.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{{\sqrt{442}}^{2}})$

Étape 6.4.6

Réécrivez ${\sqrt{442}}^{2}$ comme $442$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{442}$ comme $442^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{{(442^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 6.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{442^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 6.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{442^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{442^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{442^{1}})$

Étape 6.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{442})$

Étape 6.5

Évaluez $\arccos (- \frac{\sqrt{442}}{442})$ .

$θ = 92.72631099$