Pré-algèbre Exemples

$(- 2, - 24)$ , $(5, 25)$

Étape 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Find the dot product.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 \cdot 5 - 24 \cdot 25$

Étape 2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 10 - 24 \cdot 25$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 24$ par $25$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 10 - 600$

Étape 2.2.2

Soustrayez $600$ de $- 10$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 610$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de $a⃗$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 24)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + {(- 24)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Élevez $- 24$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 576}$

Étape 3.2.3

Additionnez $4$ et $576$ .

$| a⃗ | = \sqrt{580}$

Étape 3.2.4

Réécrivez $580$ comme $2^{2} \cdot 145$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $580$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 (145)}$

Étape 3.2.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 145}$

Étape 3.2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| a⃗ | = 2 \sqrt{145}$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de $b⃗$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} + 25^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 25^{2}}$

Étape 4.2.2

Élevez $25$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 625}$

Étape 4.2.3

Additionnez $25$ et $625$ .

$| b⃗ | = \sqrt{650}$

Étape 4.2.4

Réécrivez $650$ comme $5^{2} \cdot 26$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1

Factorisez $25$ à partir de $650$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 (26)}$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 26}$

Étape 4.2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| b⃗ | = 5 \sqrt{26}$

Étape 5

Remplacez les valeurs dans la formule.

$θ = \arccos (\frac{- 610}{2 \sqrt{145} (5 \sqrt{26})})$

Étape 6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Annulez le facteur commun à $- 610$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 610$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 305}{2 \sqrt{145} (5 \sqrt{26})})$

Étape 6.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{145} (5 \sqrt{26})$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 305}{2 (\sqrt{145} (5 \sqrt{26}))})$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 305}{2 (\sqrt{145} (5 \sqrt{26}))})$

Étape 6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{- 305}{\sqrt{145} (5 \sqrt{26})})$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à $- 305$ et $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $- 305$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot - 61}{\sqrt{145} (5 \sqrt{26})})$

Étape 6.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $\sqrt{145} (5 \sqrt{26})$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot - 61}{5 (\sqrt{145} (\sqrt{26}))})$

Étape 6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot - 61}{5 (\sqrt{145} (\sqrt{26}))})$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{- 61}{\sqrt{145} (\sqrt{26})})$

Étape 6.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$θ = \arccos (\frac{- 61}{\sqrt{145 \cdot 26}})$

Étape 6.3.2

Multipliez $145$ par $26$ .

$θ = \arccos (\frac{- 61}{\sqrt{3770}})$

Étape 6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$θ = \arccos (- \frac{61}{\sqrt{3770}})$

Étape 6.5

Multipliez $\frac{61}{\sqrt{3770}}$ par $\frac{\sqrt{3770}}{\sqrt{3770}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{61}{\sqrt{3770}} \cdot \frac{\sqrt{3770}}{\sqrt{3770}}))$

Étape 6.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.1

Multipliez $\frac{61}{\sqrt{3770}}$ par $\frac{\sqrt{3770}}{\sqrt{3770}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{61 \sqrt{3770}}{\sqrt{3770} \sqrt{3770}})$

Étape 6.6.2

Élevez $\sqrt{3770}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{61 \sqrt{3770}}{{\sqrt{3770}}^{1} \sqrt{3770}})$

Étape 6.6.3

Élevez $\sqrt{3770}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{61 \sqrt{3770}}{{\sqrt{3770}}^{1} {\sqrt{3770}}^{1}})$

Étape 6.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arccos (- \frac{61 \sqrt{3770}}{{\sqrt{3770}}^{1 + 1}})$

Étape 6.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{61 \sqrt{3770}}{{\sqrt{3770}}^{2}})$

Étape 6.6.6

Réécrivez ${\sqrt{3770}}^{2}$ comme $3770$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3770}$ comme $3770^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{61 \sqrt{3770}}{{(3770^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 6.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{61 \sqrt{3770}}{3770^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 6.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{61 \sqrt{3770}}{3770^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (- \frac{61 \sqrt{3770}}{3770^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (- \frac{61 \sqrt{3770}}{3770^{1}})$

Étape 6.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arccos (- \frac{61 \sqrt{3770}}{3770})$

Étape 6.7

Évaluez $\arccos (- \frac{61 \sqrt{3770}}{3770})$ .

$θ = 173.45370921$