Pré-algèbre Exemples

$(10, - 9)$ , $(13, - 5)$

Étape 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Find the dot product.

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Étape 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 10 \cdot 13 - 9 \cdot - 5$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $10$ par $13$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 130 - 9 \cdot - 5$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 9$ par $- 5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 130 + 45$

Étape 2.2.2

Additionnez $130$ et $45$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 175$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de $a⃗$ .

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Étape 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{10^{2} + {(- 9)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{100 + {(- 9)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Élevez $- 9$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{100 + 81}$

Étape 3.2.3

Additionnez $100$ et $81$ .

$| a⃗ | = \sqrt{181}$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de $b⃗$ .

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Étape 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{13^{2} + {(- 5)}^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Élevez $13$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{169 + {(- 5)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{169 + 25}$

Étape 4.2.3

Additionnez $169$ et $25$ .

$| b⃗ | = \sqrt{194}$

Étape 5

Remplacez les valeurs dans la formule.

$θ = \arccos (\frac{175}{\sqrt{181} \sqrt{194}})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$θ = \arccos (\frac{175}{\sqrt{181 \cdot 194}})$

Étape 6.1.2

Multipliez $181$ par $194$ .

$θ = \arccos (\frac{175}{\sqrt{35114}})$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{175}{\sqrt{35114}}$ par $\frac{\sqrt{35114}}{\sqrt{35114}}$ .

$θ = \arccos (\frac{175}{\sqrt{35114}} \cdot \frac{\sqrt{35114}}{\sqrt{35114}})$

Étape 6.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.1

Multipliez $\frac{175}{\sqrt{35114}}$ par $\frac{\sqrt{35114}}{\sqrt{35114}}$ .

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{\sqrt{35114} \sqrt{35114}})$

Étape 6.3.2

Élevez $\sqrt{35114}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{{\sqrt{35114}}^{1} \sqrt{35114}})$

Étape 6.3.3

Élevez $\sqrt{35114}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{{\sqrt{35114}}^{1} {\sqrt{35114}}^{1}})$

Étape 6.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{{\sqrt{35114}}^{1 + 1}})$

Étape 6.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{{\sqrt{35114}}^{2}})$

Étape 6.3.6

Réécrivez ${\sqrt{35114}}^{2}$ comme $35114$ .

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Étape 6.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{35114}$ comme $35114^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{{(35114^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 6.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{35114^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 6.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{35114^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{35114^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{35114^{1}})$

Étape 6.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{35114})$

Étape 6.4

Évaluez $\arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{35114})$ .

$θ = 20.94970147$