Pré-algèbre Exemples

$(1, 2.22)$ , $(2, 3.32)$

Étape 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Find the dot product.

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Étape 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 2 + 2.22 \cdot 3.32$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 2.22 \cdot 3.32$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $2.22$ par $3.32$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 7.3704$

Étape 2.2.2

Additionnez $2$ et $7.3704$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 9.3704$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de $a⃗$ .

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Étape 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {2.22}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {2.22}^{2}}$

Étape 3.2.2

Élevez $2.22$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 4.9284}$

Étape 3.2.3

Additionnez $1$ et $4.9284$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5.9284}$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de $b⃗$ .

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Étape 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} + {3.32}^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + {3.32}^{2}}$

Étape 4.2.2

Élevez $3.32$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 11.0224}$

Étape 4.2.3

Additionnez $4$ et $11.0224$ .

$| b⃗ | = \sqrt{15.0224}$

Étape 5

Remplacez les valeurs dans la formule.

$θ = \arccos (\frac{9.3704}{\sqrt{5.9284} \sqrt{15.0224}})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$θ = \arccos (\frac{9.3704}{\sqrt{5.9284 \cdot 15.0224}})$

Étape 6.1.2

Multipliez $5.9284$ par $15.0224$ .

$θ = \arccos (\frac{9.3704}{\sqrt{89.05879616}})$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{9.3704}{\sqrt{89.05879616}}$ par $\frac{\sqrt{89.05879616}}{\sqrt{89.05879616}}$ .

$θ = \arccos (\frac{9.3704}{\sqrt{89.05879616}} \cdot \frac{\sqrt{89.05879616}}{\sqrt{89.05879616}})$

Étape 6.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.1

Multipliez $\frac{9.3704}{\sqrt{89.05879616}}$ par $\frac{\sqrt{89.05879616}}{\sqrt{89.05879616}}$ .

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{\sqrt{89.05879616} \sqrt{89.05879616}})$

Étape 6.3.2

Élevez $\sqrt{89.05879616}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{{\sqrt{89.05879616}}^{1} \sqrt{89.05879616}})$

Étape 6.3.3

Élevez $\sqrt{89.05879616}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{{\sqrt{89.05879616}}^{1} {\sqrt{89.05879616}}^{1}})$

Étape 6.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{{\sqrt{89.05879616}}^{1 + 1}})$

Étape 6.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{{\sqrt{89.05879616}}^{2}})$

Étape 6.3.6

Réécrivez ${\sqrt{89.05879616}}^{2}$ comme $89.05879616$ .

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Étape 6.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{89.05879616}$ comme ${89.05879616}^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{{({89.05879616}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 6.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{{89.05879616}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 6.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{{89.05879616}^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{{89.05879616}^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{{89.05879616}^{1}})$

Étape 6.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{89.05879616})$

Étape 6.4

Multipliez $9.3704$ par $\sqrt{89.05879616}$ .

$θ = \arccos (\frac{88.42937192}{89.05879616})$

Étape 6.5

Divisez $88.42937192$ par $89.05879616$ .

$θ = \arccos (0.99293248)$

Étape 6.6

Évaluez $\arccos (0.99293248)$ .

$θ = 6.81596047$