Pré-algèbre Exemples

$(- 1, 1)$ , $(0, - 1)$

Étape 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Find the dot product.

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Étape 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 0 + 1 \cdot - 1$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 1 \cdot - 1$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 - 1$

Étape 2.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 1$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de $a⃗$ .

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Étape 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1^{2}}$

Étape 3.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1}$

Étape 3.2.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{2}$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de $b⃗$ .

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Étape 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + {(- 1)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 1}$

Étape 4.2.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1}$

Étape 4.2.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$| b⃗ | = 1$

Étape 5

Remplacez les valeurs dans la formule.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{2} \cdot 1})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à $- 1$ et $1$ .

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Étape 6.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1 (1)}{\sqrt{2} \cdot 1})$

Étape 6.1.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{- 1 \cdot 1}{\sqrt{2} \cdot 1})$

Étape 6.1.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{2}})$

Étape 6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$θ = \arccos (- \frac{1}{\sqrt{2}})$

Étape 6.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))$

Étape 6.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})$

Étape 6.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})$

Étape 6.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})$

Étape 6.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

Étape 6.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})$

Étape 6.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 6.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 6.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 6.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2^{1}})$

Étape 6.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 6.5

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ est $135$ .

$θ = 135$